Часть 4. Синтез цифрового фильтра с характеристиками Чебышева

Порядок фильтра Чебышева определяется по формуле:

n_ч ≥ [A₂ + 6 – 10 lg(10^0,1A1 - 1)] / [20lg(Ω₂ +√Ω₂²-1 )]

Используя эту формулу, свои исходные данные и MathCad получим:

n_ч ≥3,254

Полученный результат округляем до следующего целого числа, следствием является искомый порядок фильтра, равный:

n_ч = 4 .

Вычислим коэффициент неравномерности в ПП

ε = = 1,827.

Найдём корни передаточной функции:

Р_ч1 = =-0,245 + j1,097,

Р_ч2 = =-0,591 + j0,454,

Р_ч3 = - =-0,591 - j0,454,

Р_ч4 = =-0,245 – j1,097

Произведение корней даст:

(Р – Р_ч1)( Р – Р_ч4) = Р² +0,49 Р +1,263

(Р – Р_ч2)( Р – Р_ч3) = Р² +1,182Р +0,57

Передаточная функция будет иметь вид:

Н_ч (р) =

23

Применим билинейное z-преобразование аналогично фильтру Баттерворта:

Н_ч (р)= =

= =

= =

= =

=

= =

= =

=

.Окончательный вариант передаточной функции выглядит:

Н_ч (р) = ..

24

Разложим данную функцию на подфункции:

Н_ч1 (р) = ;

Y(z) = 0,108X(z) +0,216 z ^-1 X(z) + 0,108z ^-2 X(z) – 0,334z ^-1 Y(z) -0,65z ^-2 Y(z);

y(n) = 0,108x(n) +0,216 x(n-1) + 0,108x(n-2) – 0,334 y(n-1) -0,65 y(n-2);

Н_ч2 (р) = ;

Y(z) = X(z) +2 z ^-1 X(z) + z ^-2 X(z)+0,217 z ^-1 Y(z) -0,131z ^-2 Y(z);

y(n)= x(n) +2 x(n-1) +x(n-2) +0,217 y(n-1) -0,131y(n-2)

0,108

1

x(n)

y(n)

-0,217

2

0,216

0,334

∆t

∆t

∆t

∆t

0,092

1

∆t

∆t

∆t

∆t

0,108

0,65

Рисунок 22 – Схема ЦФНЧ Чебышева 4-го порядка во временной области

0,108

1

X(z)

Y(z)

-0,217

z ^-1

2

0,216

z ^-1

0,334

1

0,131

z ^-1

0,108

0,65

z ^-1

Рисунок 23 – Схема ЦФНЧ Чебышева 4-го в каноническом виде

25

Приведём передаточную функцию Баттерворта к классическому виду. В результате получим:

Н_ч (z) = = =

Произведём замену z = e^jΩn :

Н_ч (e^jΩ) = =

= .

Введём замену:

A = 0,108[1+4cos(Ω) +6 cos(2Ω) +4cos(3Ω)+ cos(4Ω)];

B = 0,108[-4sin(Ω) - 6sin(2Ω) -4sin(3Ω) -sin(4Ω)];

D = 1+ 0,117 cos(Ω) +0,709 cos(2Ω)- 0,097cos(3Ω )+0,085cos(4Ω);

F = -0,117sin(Ω) – 0,709sin(2Ω) +0,097sin (3Ω) -0,085sin(4Ω) .

Произведя расчёты частоты и коэффициентов A, B, D, F в MathCad, получим:

Ω = 2πf₁/f_д = (2∙180∙ 3,94)/14,938 = 94,952

A= - 0,345; B=0,065; D= 0,347; F=-0,224;

Н(Ω) = = 0,85.

θ(Ω)=arctg(A/B) – arctg(D/F) = 0,387 рад.

при условии , что угол задан в диапазоне от -π/2 до π/2 ,

но при построении графиков часто используется диапазон от -π до π. Тогда:

х = π/2+ arctg(A/B) = 1,385 ,

у = arctg(D/F) = - 0,573 ,

(Ω)=x – y = 1,958 рад.

26

Вывод : В данной части курсовой работы мы изучили принцип перехода от аналогового фильтра к цифровому на основе z-преобразования ,произвели синтез цифрового фильтра Чебышева. О правильности расчётов можно судить по полученным частотным характеристикам которые совпали и в случае расчёта цифрового фильта Баттерворта и в случае расчёта цифрового фильтра Чебышева.

Н(Ω)≈ H(f)

Это значит, что синтез фильтра произведён верно