3. Косвенные измерения и обработка их результатов

3.1. При косвенных измерениях физическая величина А является известной функцией ряда других величин — аргу­ментов Данные аргументы подвергаются прямым измере­ниям, а величина вычисляется по формуле:

_. (2.10)

Методика обработки результатов косвенных измерений стандартизирова­на.

В частных случаях при отсутствии корреляции между погрешностями измерения аргументов вычисления производятся по значительно более простым формулам.

Пусть функция (2.10) имеет вид суммы. Тогда:

(2.12)

Предположим, что функция (2.10) имеет вид произведения. Тогда: (2.13) где k, — константы; — соответственно относительные СКО случайных погрешностей результата измерения и i-го аргумента.

3.2. Доверительные границы случайной погрешности и НСП косвенных измерений. При косвенных измерениях оценка доверительного ин­тервала в котором находится с заданной доверительной вероятностью выполняется в следующей последовательности.

Если погрешности результатов измерения всех аргументов имеют нормальный закон распределения, то доверитель­ная граница вычисляется по формуле

где — коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности Р_Д и некоторому целому положительному числу — оценка СКО результата косвенного измерения.

Коэффициент — эффективное число степеней свободы распределения Стьюдента — рекомендуется рассчитывать по приближенной формуле:

, (2,15)

где — число измерений при определении аргумента x_i.

Граница НСП результата косвенного измерения определяется без учета знака по формуле:

(2.16)

Суммарные границы погрешности результата косвенного измерения с учетом границы НСП и доверительной границы случайной погрешности определяются по общим правилам. Результат косвенного измерения и его погрешность должны представляться в виде формулы:

_. (2.17)

При однократных измерениях аргументов процедура определения результата косвенно измеряемой величины сохраняется такой же, как и при многократных измерениях.

3. Совместные измерения и их статистическая обработка

В результате таких измерений находятся координаты искомой зависимости Экспериментальные координаты (где i= 1, 2,... п — число совместных измерений) отличаются от истинных координат (х,у) из-за систематических и случайных погрешностей измерений. Возникает задача наилучшей аппроксимации экспериментальной зависи­мости у = f(x) по координатам x_i , y_i.

Сущность метода наименьших квадратов состоит в том, что наивероятнейшими значениями аргументов искомой аналитической зависимости будут такие, при которых сумма квадратов отклонений экспериментальных значе­ний функции y_i от значений самой функции y, будет наименьшей:

(2.18)

Применение метода наименьших квадратов при статистической обработ­ке результатов измерений требует учета ряда условий:

• значения аргументов x_i известны точно;

• результаты измерений y_i независимы и содержат лишь случайные по­грешности с одинаковыми дисперсиями;

• погрешности измерения y_i имеют нормальное распределение.

Первое условие приближенно выполняется за счет измерения зна­чения x_i с меньшей погрешностью, чем y_i. Наличие только случайных погрешностей обеспечивается ис­ключением из результатов измере­ний возможных систематических погрешностей.

В простейшем случае, когда искомая зависимость имеет линейный характер вида . В соответствии с методом наименьших квадратов наилучшим оценкам а и _b соответствует минимальное значение выражения:

(2.19)

где — отклонение измеренных значений у, от вычисленных) при

При использовании метода наименьших квадратов необходимо по набору из п экспериментальных координат найти такие оценки неизвестных постоянных а и b, при которых получается прямая линия, наилучшим обра­зом отражающая истинную анализируемую линию.

Сумма (2.19) минимальна, если ее частные производные по а и b равны нулю:

; . (2.20)

Из решения системы уравнений, находятся формулы для оценок значе­ний а и b:

(2.21)

где ; (2.22)

Степень приближения найденных значений а и _b к истинным значениям этих величин оценивается с помощью их СКО и :

(2.23)

где — СКО погрешности измерения величины у, значение которой можно получить из паспортных данных на средство измерения или вычислить по формуле:

(2.24)

Пример. Требуется установить реальную зависимость сопротивления метал­лического проводника от температуры по результатам совместных измерений (табл. 3.12). При этом теоретическая зависимость определена как:

где — сопротивление проводника при 0°; — ТКС проводника; — температура, 0° С.

Т а б л и ц а 3.12. Результаты совместных измерений

t, °C	10	15	20	25
Ом	10,3	10,9	11,3	11,6

Преобразуем последнюю формулу к виду в которой

Расчеты по формулам (3.51) и (3.52) при п = 4, и дают следующие результаты: а = 9,52 Ом; _b= 0,09 Ом/град.

Пусть средство измерения имеет СКО = 0,2 Ом. Тогда, проведя вычисления по формулам (3.53), получим: = 0,33 Ом; = 0,02 Ом/град. Окончательно имеем:

= (9,52+0,33) Ом; = (0,09 + 0,02) Ом/град.