Пример выполнения типового расчета по теме: неопределенный интеграл
Пример 1. Найти неопределенные интегралы:
А)
Б)
В)
Решение.
При нахождении данных интегралов
используем формулу
.
А)
Б)
В)
Пример 2.
Найти
.
Решение.
Пусть
.
Следовательно, по формуле интегрирования
по частям
:
.
Пример 3.
Найти
неопределенные интегралы от рациональных
дробей: А)
Б)
Решение. А)
.
Б) Представим дробь в виде суммы простейших дробей:
.
Отсюда следует
.
Для нахождения неопределенных коэффициентов А, В и С используем метод отдельных значений аргумента.
Положим
,
тогда
,
т.е.
;
положим
,
тогда
;
так как
,
то
;
положим
,
тогда
,
так как
и
,
то
.
Следовательно:
.
Поэтому
Пример 4.
Найти
.
Решение
Пример 5.
Найти
.
Решение.
Положим
.
Отсюда
.
Следовательно:
Пример 6 .
Найти
.
Решение
Пример 7.
Найти
.
Решение.
Положим
,
.
Тогда
Пример выполнения типового расчета по теме Определенный интеграл
Пример 1.
Вычислить
определенный интеграл
.
Решение.
Известно, что если функция
непрерывна на отрезке
,
то она интегрируема на этом отрезке и
,
где
-
какая-нибудь первообразная для
на отрезке
.
Указанная формула называется формулой Ньютона-Лейбни-ца. При нахождении первообразной используются те же методы интегрирования, что и для неопределенных интегралов. Следовательно:
Пример 2.
Найти
.
Решение.
Здесь подынтегральная функция
непрерывна
на
всей оси Ox.
Поэтому (по определению)
.
Вычислив интеграл
,
найдем
.
Следовательно:
(по правилу Лопиталя
).
Таким образом,
интеграл
существует (сходится) и равен единице.
Пример 3. Найти
.
Решение.
Здесь подынтегральная функция
обращается
в бесконечность между пределами
интегрирования
.
Следовательно (по определению):
где и принимают положительные значения.
Эти пределы не существуют (как обычно говорят, «равны »).
Таким образом, интеграл не существует (расходится).
Пример 4. Исследовать, сходится ли интеграл
.
Решение. Подынтегральная функция терпит разрыв в точке x=0. Очевидно, что при x0
.
Так как несобственный интеграл
,
т.е. сходится, то сходится и исходный интеграл.
Пример 5. Треугольная пластинка с основанием a=3 м и высотой H=2 м погружена вертикально вершиной вниз в жидкость так, что основание параллельно поверхности жидкости и находится на расстоянии d=1 м от поверхности. Плотность жидкости =0,9 т/м3. Вычислить силу давления жидкости на каждую из сторон пластинки.
Решение. Для определения силы давления жидкости воспользуемся законом Паскаля, согласно которому давление p жидкости на площадку S, погруженную на глубину h:
,
где - плотность жидкости; g – ускорение свободного падения.
Рис. 1
Прямыми, параллельными поверхностям жидкости, разобьем треугольник на элементарные полоски шириной dy (рис. 1), отстоящие от поверхности жидкости на расстояние y+d. Из подобия треугольников ABC и A1B1C1 имеем
,
т.е. площадь вырезанной полоски
,
давление на каждую из сторон полоски треугольной пластины
.
Интегрируя обе части последнего равенства, получаем
.