1.2 Логіка висловів
Логіка висловів, або пропозициональная логіка, - розділ логіки, що формалізує вживання логічних зв'язок «и», «або», «не», «якщо, то» і т. п., службовців для утворення складних висловів з простих.
Вислів називається простим, якщо воно не включає інші вислови, інакше воно називається складним. У логіці висловів прості вислови розглядаються у відверненні від їх внутрішньої (суб'єктно-предикативною) структури. Та або інша істиннісна оцінка вислову іменується його істиннісним значенням.
У логіці класичної передбачається, що простий вислів є або істинним, або помилковим і що істиннісне значення складного вислову залежить тільки від істиннісних значень вхідних в нього простих висловів і характеру їх зв'язку. Так, з'єднання двох висловів за допомогою зв'язки «и» дає складний вислів (іменоване кон'юнкцією), що є істинним, тільки коли обидва складові його вислову істинні. Складний вислів, утворений за допомогою зв'язки «або» (диз'юнкція), істинно, якщо і тільки якщо хоч би один з двох вхідних в нього висловів істинно. Складний вислів, утворений з допомогою «не» (заперечення), істинно, якщо тільки початковий вислів помилковий. Складний вислів, отриманий з двох висловів за допомогою зв'язки «якщо, то» (імплікація), істинно в трьох випадках: обидва вхідні в нього вислови істинні, обидва вони помилкові, перше з цих висловів (наступне за словом «якщо») помилково, а друге (наступне за словом «то») істинно; імплікація є помилковою тільки коли перше з складових її висловів істинно, а друге помилково.
Можливі і інші способи утворення складних висловів. Всього в класичній двозначній логіці чотири способи утворення складного вислову з одного вислову і шістнадцять способів утворення складного вислову з двох висловів. Мову логіки висловів включає нескінченна безліч змінних: р, q, r..., p1, q1, r1 ..., що представляють вислови, і особливі символи для логічних зв'язок : & — кон'юнкція («і»), v - диз'юнкція («або») ~ - заперечення («не» або «невірно, що») -> — імплікація («якщо, то»). Роль розділових звичайної мови знаків грають дужки .
Поняття формули в логіці висловів визначається так: окрема змінна є формулою; якщо A і В — формули, то (А&в) (AVB) ~A і (A->B) також формули. Формулам, утвореним із змінних і зв'язок, в природній мові відповідають пропозиції. Наприклад, якщо р є вислів «Зараз ніч», q — вислів «Зараз темно» і r — вислів «Зараз ветрено», то формула (p->(qvr)) представляє вислів «Якщо зараз ніч, то зараз темно або ветрено», формула ((q&.r)->p) - вислів «Якщо зараз темно і легковажно, то зараз ніч», формула (~q->~p) — вислів: «Якщо невірно, що зараз темно, то зараз не ніч» і тому подібне Підставляючи замість змінних інші вислови, отримаємо інші переклади вказаних формул звичайною мовою.
Кожній формулі логіки висловів можна поставити у відповідність таблицю істинності, вказуючу залежність істиннісного значення формули від істиннісних значень тих, що входять в неї змінних. Наприклад, формула (~q->~p) приймає значення «помилковий» тільки у разі помилковості q і істинності р.
Формула називається тотожно-істинною, або тавтологією, якщо і тільки якщо вона приймає значення «істинний» при всіх розподілах істиннісних значень вхідних в неї простих висловів. Формула, що приймає при всіх розподілах значення «помилковий», називається суперечністю. Тавтології виражають логічні закони. До тавтологиям відносяться, зокрема, формули: (р->р) — закон тотожності ~(р&~р) — закон непротиворечия, (pv~p) — закон виключеного третього (p->q)->(~q->~p) - закон контрапозиции. Безліч тавтологий нескінченна.
Логіка висловів може бути представлена також у формі логічного числення, в якому задається спосіб доказу деяких висловів (формул), званих теоремами. Числення може бути формалізоване за допомогою аксіоматичного методу . При цьому указуються формули, що приймаються як аксіоми, і задаються правила виводу, теореми, що дозволяють отримувати з аксіом. Аксіоматичне числення висловів будується так, щоб клас теорем співпадав з класом тавтологий, тобто щоб кожна теорема була тавтологією і кожна тавтологія — теоремою.
По відношенню до аксіоматичної побудови встають також питання про його несуперечність і незалежність прийнятих аксіом і правил виводу. Разом з класичною логікою висловів, що припускає, що всякий вислів є істинним або помилковим, існують багатообразні некласичні логіки. У числі останніх — багатозначні логіки висловів, интуиционистская логіка висловів і ін.