Сума і перетин підпросторів. Пряма сума.

Означення:

Нехай два підпростори - лінійного простору Сумою двох підпросторів називають сукупність усіх векторів , які мають вигляд , де , . Перетином підпросторів називають множину векторів , кожен з яких належить як , так і : і . Означення:

Пряма сума –це сума підпросторів U та V, якщо U∩V = {a}.

Пряму суму позначають U⊕V.

Критерій прямої суми :

U⊕V⇔якщо  вектора W є U⊕V, розклад w=u+v –однозначний.

dim (U +V)=dim U +dim U – dim (U∩V)

dim (U⊕V)= dim U +dim V.

Приклад 2. Довести, що сума і перетин двох підпросторів є також підпростором.

Розв'язання. Доведемо для випадку суми підпросторів. Нехай . Отже, , , де , .

Сумою цих векторів буде

Тому що , а , то , тобто сума довільних двох векторів із належить .

Таким чином виконуються обидві умови критерію підпростору, отже, - підпростір.

Аналогічно доводять, що - підпростір. Пропонуємо це зробити самостійно.

Евклідові простори

Лінійний простір V над полем дійсних чисел R називають евклідовим простором, якщо в ньому визначено скалярний добуток, тобто відображення V V—R,

Яке кожній впорядкованій парі векторів a, b E V ставить у відповідність дійсне число (a, b) E R так, що виконуються такі властивості (аксіоми скалярного добутку):

1) a, b V (a, b)=(b, a);

2) a, a’, b V (a+a’, b)=(a, b) + (a’,b);

3) R, A a, b V ( a, b)= (a, b);

4) V, (a, a) ≤ 0, (a, a) = 0  a = 0

Довжиною вектора х евклідового простору V називають число .

З цього означення безпосередньо видно, що нуль-вектор є єдиним вектором, довжина якого дорівнює нулю. Крім того, якщо , то .

Теорема 3.1.2 (нерівність Коші-Буняковського). Для кожної пари векторів х і у з евклідового простору V .

Назвемо кутом між векторами х і у таке дійсне число а, для якого .

Твердження 3.1.3. Довжина ((х)) вектора х має такі властивості:

1) = 0  x = 0;

2) = , E R;

3) (нерівність трикутника).

Вектори х і у евклідового простору V називають ортогональними, якщо скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю. Систему ненульових векторів евклідового простору називають ортогональною, якщо кожні два вектори цієї системи ортогональні.

Теорема 3.1.4 (про ортогональність). Нехай а ,…,а – лінійно незалежна система векторів евклідового простору V. Тоді для кожного і, 1 i k існує ортогональна система векторів b1,…,bi така, що лінійна оболонка L(b ,…,b ) дорівнює L(а ,…,a ).

Теорема 3.1.5. Ортогональна система векторів лінійно незалежна.

Означення 3.1.5. База а₁,…ап скінченно вимірного лінійного простору називається ортогональною, якщо кожні два вектори цієї бази ортогональні.

Теорема 3.1.6. У кожному скінченновимірному евклідовому просторі існують ортогональні бази.

Означення 3.1.6. Систему веторів е ,…,е називають ортонормованою, якщо ця система ортогональна і = 1 для всіх і 1 .

Для ортонормованих векторів е ,...,е

якщо:

де - символ Кронекера

Теорема 3.1.7. У кожному скінченнвимірному евклідовому просторі існують ортонормовані бази.

Теорема 3.1.8. Скалярний добуток векторів евклідового простору дорівнює сумі добутків відповіднх координат цих векторів стосовно будь-якої ортонормованої бази.

Унітарні простори

Означення 3.2.1. Лінійний простір V над полем комплексних чисел С називають унітарним простором, якщо в ньому визначено скалярний добуток, тобто відображення V V C, яке кожній впорядкованій парі векторів а,b V ставить у відповідність комплексне число (a, b) C. Це відображення задовольняє такі аксіоми:

1) (риска означає перехід до комплексно спряженого числа);

2)

3) ;

4) ;

З аксіом унітарного простору випливають такі наслідки:

а)

Справді,

б)

Справді,

Вектори унітарного простору V Називаються ортогональними, якщо (х, у) = 0.

В унітарному просторі V можна означити довжину вектора . Довжина має ті самі властивості, що й довжина вектора у евклідовому просторі.

Основні приклади унітарних та евклідових просторів :

1. Чи можна в лінійному просторі матриць М_2×2 (ℝ) ввести скалярний добуток за формулою (А, В)= a₁a₂-b₁b₂+c₁c₂-d₁d₂, де

a₁ b₁

А = c₁ d₁

a₂ b₂

B = c₂ d₂

Розв’язання :

Не можна, оскільки не виконується аксіома 5 скалярного добутку. Дійсно для матриці А = матимемо (А, А)=1-1=0, хоча А0.

2. Довести, що в просторі Р₂(х) многочленів, із дійсними коефіцієнтами зі степенем не вищем від 2, скалярний добуток можна ввести за формулою (f, g)=f(-1)g(-1)+f(0)g(0)+f(1)g(1).

1) Перевіримо, що (αf, g)=α(f, g), де α є ℝ

2) Для довільного многочлена f(x) маємо (f, f)=f²(-1)+f²(0)+f²(1) ≥0

3) Покажемо, що якщо (f, f)=0, то f=0. Нехай (f, f)=0, тобто

f²(-1)+f²(0)+f²(1)=0. Звідси отримаємо, що f(-1)=f(0)=f(1)=0. Оскільки степінь многочленна не перевищує 2, то він має не більш ніж два корені. Отже, f(x)=0, тобто f(x) –нульовий елемент простору Р₂(х).

Нормою вектора є L називається число || a || ≝ -норма

Зауваження:

|| a ||=0 ⇔ a=о_L

Нерівність Коші Буняковського

Для будь-яких векторів унітарного простору модуль їх скалярного добутку ≤ за їх норми: | (a, b) |=||a||×||b||

Доведення:

1. b=o_L (a, b)=0, ||a||×||b||=0, 0=0

2. bo_L (a-αb)=(a-αb, a-αb)≥0

 α є С

(a, a)-(a, αb)-(αb, a)+(αb, αb)≥0

|| a ||×|| b ||≥| (a, b) |

Рівність у нерівності Коші Буняковського буде досягатись ⇔ коли вектори і -лінійно залежні. Тому доведення другої частини базується на розгляді того, що вектори і лінійно залежні a=αb і лінійно залежні, якщо α a-αb , тобто (a-αb, a-αb)≥0

Приклад 4. Довести нерівність трикутника.

Доведення:

Використовуючи нерівність Коші - Буняковського

,

одержимо

Залишається добути квадратний корінь.

Приклад 5. Довести теорему Піфагора: якщо вектори та ортогональні, то .

Доведення:

Оскільки вектори , ортогональні, то . Отже,

.