База простору. Розмірність простору

Лінійний простір над полем Р називають скінченновимірним, якщо існує таке натуральне число , що будь-яка лінійно незалежна система векторів з містить не більше, ніж векторів. У протилежному випадку простір називають нескінченновимірним.

Базою скінченновимірного лінійного простору називають лінійно незалежну систему твірних цього простору, тобто таку лінійно незалежну систему векторів , що кожний вектор є лінійною комбінацією векторів .

Теорема 1. Кожний скінченновимірний лінійний простір має базу.

Теорема 2. Система векторів скінченновимірного лінійного простору є базою простору тоді і тільки тоді, коли кожен вектор однозначно виражається у вигляді лінійної комбінації векторів .

Теорема 3. Кожні дві бази скінченновимірного лінійного простору складаються з однакової кількості векторів.

Теорема 4. Нехай - лінійно незалежна система векторів скінченновимірного лінійного простору . Еквівалентні такі властивості:

1) - база ;

2) - мінімальна система твірних простору ;

3) - максимальна лінійно незалежна система векторів простору .

Розмірністю скінченновимірного лінійного простору називають кількість векторів будь-якої бази цього простору. Розмірність простору м позначають .

Приклад 2.3. Знайти базу і розмірність лінійного простору многочленів степеня не вищого від .

Розв’язання. Розглянемо систему з векторів цього простору : . Рівність може виконуватись тотожно для всіх тоді і тільки тоді, коли . Отже система векторів є лінійно незалежною.. Кожний многочлен з простору є лінійною комбінацією заданої лінійно незалежної системи векторів . Отже, ця система векторів є базою простору . Розмірність цього простору .

Координати вектора стосовно бази. Зв’язок координат вектора в різних базах.

Нехай лінійний простір над полем Р, - його база і . Тоді за теоремою про базу вектор однозначно розкладається за векторами бази :

,

де . Скаляри називають координатами вектора

Приклад 2.4 Вектор в базі , , має координатний рядок . Знайти його координати в базі , , .

Розв’язання. Координати вектора в базі знаходимо за формулою , де - матриця переходу від бази до бази . Матрицю знаходимо за формулою , де

, .

Отже,

.

Тоді,

Таким чином, .

Підпростори лінійного простору.

Нехай нам дано простір L над полем P і дано множину H , яка є підмножиною множини L. Підмножина Н називається підпростором простору L, якщо вона сама є лінійним простором над тим самим полем і тими ж операціями, що й простір L.

Критерій підпростору.

Підмножина Н множини L є підпростором ⇔ коли виконуються наступні умови :

1. ( a, b є H ) : {(a+b) є H}

2. ( a є H), ( α є P) : {αa є H }

У кожному лінійному просторі L існують так звані тривіальні підпростори :

1) нульовий простір { 0L } ;

2) простір L ;

Означення:

Множину всіх лінійних комбінацій векторів a₁, a₂, … an з простору L називають лінійною оболонкою цих векторів.

L (a₁, a₂, … an)={(α₁a₁+α₂a₂+ ... +αnan )αі є Р}

Зауваження:

Лінійні оболонки векторів згідно означення є підпросторами простору L.