12.1. Показать, что следующие функции примитивно рекурсивны:

а) f(x, у) = х + у

Решение: возьмем в качестве функций g(x) и h(x,y,z) следующие простейшие всюду определенные функции: ,

По схеме примитивной рекурсии f(x, 0) = g(x) = x

f(x, y+1) = h(x, y, f(x, y)) = f(x, y)+1

В частности, f(x, 1) = x+1, f(x, 2) = x+2 и т.д.

Следовательно, f(x, y) = x+y

б) f(x, у) = х  у

Решение: возьмем в качестве функций g(x) и h(x,y,z) следующие всюду определенные примитивно рекурсивные функции: g(x) = 0(x), h(x, y, z) = (операция суммирования определена выше).

По схеме примитивной рекурсии f(x, 0) = g(x) = 0, а

f(x, y+1) = h(x, y, f(x, y)) = x + f(x, y)

В частности, f(x, 1) = x , f(x, 2) = x+ x = 2 x f(x, 3) = 3x

Следовательно, f(x, y) = xy

в) f(x, у) = х^у (0⁰ = 1 – принимаем по определению)

Решение: возьмем в качестве функций g(x) и h(x,y,z) следующие всюду определенные примитивно рекурсивные функции: g(x) = S(0(x)), h(x, y, z) = (операция умножения определена выше).

Тогда f(x, 0) = 1 f(x, у+1) = х f(x, y)

f(x, 1) = x, f(x, 2) = x², f(x, 3) = x³ и т.д.

Следовательно, f(x, y) = х^у

г)

Решение: возьмем в качестве функций g(x) и h(x,y) следующие всюду определенные примитивно рекурсивные функции: ,

По схеме примитивной рекурсии

f(0) = g(0)=0, f(x+1) = h (x, f(x))

Тогда f(1) = h(0,f(0)) = 0+0( f(0)) = 0, f(2) = h (1, f(1))=1+0( f(1)) = 1, f(3) = 2+0 = 2

и т.д.

То есть, для

д) f(x, у) =

Решение: возьмем в качестве функций g(x) и h(x,y) следующие всюду определенные примитивно рекурсивные функции: для х>0 = f(x, 0) = g(x) = = x

Для x>y+1 =f(x, у+1) =

В частности, =f(x, 1) = = x-1

= f(x, 2) =

е)

Решение: по аналогии с предыдущим положим Sg(0) = 0(0), h(x, y) = S(0( (x, y))).

Тогда, для x 0 Sg(x+1) =h(x, Sg(x)= S(0(x))

ж)

Решение: положим ,

Тогда для x 0

е)

Решение: данная функция примитивно рекурсивная, так как может быть представлена как композиция примитивно рекурсивных функций построенных выше: