5.2. Требуется по карте Карно для функции 4-х переменных составить сокращённую днф.

х1 , х2 х3 , х4	00 01 11 10
00 01 11 10	1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1

Решение.

Надо иметь в виду, что карты Карно соединяются по кругу. Число единиц, которые мы можем объединять, равно 2, 4, 8, … (прямая, плоскость и т. д.). Получаем всего 4 объединения, т. е. 4 конъюнкции в ДНФ:

.

Заметим, что при правильно составленном объединении единиц правило Блейка может привести только к ДНФ с тем же числом символов переменных (в нашем примере их 11).

Задание 6.

6.1. Требуется выделить из данного набора из 5 функций полные наборы функций и базисы:

1) f₁ (x, y, z) = (x y)(y  z), 2) f₂ (x, y) = x + y x, 3) f₃ (x, y, z) = x  (y z), 4) f₄ (x, y) = x + ,

5) f₅ (x, y, z) = x y  .

Решение. Составляем таблицу истинности для каждой из этих 5-и функций. Заметим, что для

f₂ и f₄ таблицу можно составить отдельно.

x, y, z	xy	y  z	f1 = (x y)(y  z)		yz	f3 = x y z		f5 = x y 
000 001 010 011 100 101 110 111	0 0 0 0 0 0 1 1	1 0 0 1 1 0 0 1	0 1 1 0 0 1 0 0		0 0 0 1 0 0 0 1	1 1 1 0 0 0 0 0		1 0 1 0 1 0 1 1

Отсюда очевидно, что f₁ (x, y, z) T₀ (принадлежит классу Т₀) и f₁ T₁, f₁  M, S (не принадлежит Т₁ и М , S), аналогично f₃ не принадлежит T₀ , T₁ и M, S. Функция f₅

принадлежит Т₁ и не принадлежит Т₀ и М, S. Осталось проверить линейность этих функций.

f₃ = x  (y z) = = x + x y + 1, нелинейна;

f₅ = x y =(x y + 1) z + 1 = x y z + z + 1, нелинейна.

Для f₁ требуется проверка нелинейности. Составим полином Жегалкина для f₁:

P = ₀ + ₁ x + ₂ y + ₃ z + ₄ x y + ₅ x z + ₆ y z + ₇ x y z. Находим последовательно : ₀ = 0,

₃ = 1, ₂ = 1, ₄ = 0, ₅ = 0, ₁ = 1, ₁ + ₃ + ₆ = 1, откуда ₆ = 1; значит,

функция f₁ нелинейна (что, впрочем, следует и из того, что f₁ в таблице истинности содержит нечетное число единиц (равное 3).

Для f₂ и f₄ составляем свои таблицы истинности.

x, y	x y	f2 = x + x y	f4 = x+
00 01 10 11	0 0 0 1	0 0 1 0	1 0 0 1

Отсюда следует, что f₂ принадлежит T₀ , не принадлежит T₁ , не принадлежит M, S; f₂ является полиномом Жегалкина f₂ = x + y + 1 и, значит, принадлежит L, принадлежит также T₁ , но не принадлежит M, S. Все эти сведения сведём в таблицу Поста.

	Т0 Т1 L M S
f1 f2 f3 f4 f5	+ - - - - + - - - - - - - - - - + + - - - + - - -

Таким образом, мы видим, что базисами являются: 1) f₃, 2) f₁ и f₄, 3) f₂ и f₄,

4) f₁ и f₅ , 5) f₂ и f₅ . Они являются полными наборами, как и любые наборы, содержащие базисы.

Задание 7.