4.2. Пусть имеется выражение . Требуется записать

L в виде ДНФ, а затем перейти к СДНФ.

Решение:

Ясно, что ДНФ можно получить простым раскрытием скобок. Так как в обоих скобках есть , которое поглощает слагаемые, содержащие то . Это и есть ДНФ. Для того чтобы получить СДНФ мы умножаем на , а умножаем на и раскрываем скобки. Тогда

Заметим, что мы с самого начала позаботились о правильном порядке переменных, что требуется для СДНФ. Однако последнее выражение еще не является СДНФ, так как содержит два одинаковых слагаемых. После уничтожения одного из них мы получим нужное выражение. Окончательный ответ:

.

Задание 5.

5.1. Требуется для логической функции

f(x, y, z) = (x  z) | ((x y)  (y z))

а) составить таблицу истинности;

б) написать для неё СДНФ или СКНФ (если это возможно);

в) сократить СДНФ по карте Карно;

г) найти по таблице истинности полином Жегалкина.

Решение.

а) В таблицу истинности полезно включить таблицы истинности промежуточных функций, поэтому таблица истинности для данной функции выглядит так:

xyz	x  z	x y	y z	(x y)  (y z)	(x z)|((x y)  (y z)
000 001 010 011 100 101 110 111	1 0 1 0 0 1 0 1	0 0 0 0 0 0 1 1	0 0 0 1 0 0 0 1	1 1 1 0 1 1 0 1	0 1 0 1 1 0 1 0

б) Составить СДНФ и СКНФ по этой таблице. В соответствии с теорией, изложенной в п. 4, СДНФ составляется по единицам таблицы истинности, причём если f(x, y, z) = 1, то в случае, когда х = 0, в соответствующей конъюнкции СДНФ берётся , а когда х = 1 в СДНФ берётся х. Аналогично поступают и с другими переменными. Поэтому СДНФ для данной функции имеет вид:

.

Аналогично, СКНФ составляется по нулям таблицы истинности, т. е. если

f(x, y, z) = 0 и х = 0, то в соответствующей дизъюнкции берётся х, а если х = 1, то .

Таким образом, СКНФ для данной функции имеет вид:

.

Заметим, что в соответствии с определением СДНФ и СКНФ, переменные (в каждой конъюнкции и дизъюнкции соответственно) должны следовать в одинаковом порядке.

в) Составим полином Жегалкина по таблице истинности. Напишем его сначала с неопределёнными коэффициентами: f(x, y, z) = ₀ +₁x+₂y+₃ z+₄xy+₅xz+₆ yz+₇xyz.

Подставим в него по очереди все 8 наборов переменных и найдём коэффициенты полинома Жегалкина.

x = 0, y = 0, z = 0: ₀ = 0;

x = 0, y = 0, z = 1: ₃ = 1;

x = 0, y = 1, z = 0: ₂ = 0;

x = 0, y = 1, z = 1: ₂ + ₃ + ₆ = 1, ₆ = 0;

x = 1, y = 0, z = 0: ₁ = 1;

x = 1, y = 0, z = 1: ₁ + ₃ + ₅ = 0, ₅ = 0;

x = 1, y = 1, z = 0: ₁+ ₂ + ₄ = 1, ₄ = 1;

x = 1, y = 1, z = 1: ₀ + ₁ + ₂ + ₃ + ₄ + ₅ +₆ + ₇ =0.

Так как ₀ =₂ =₄ =₅ =₆ = 0, то ₁ +₃ +₇ = 0, откуда ₇ = 0, и полином Жегалкина для данной функции имеет вид: f(x, y, z) = x+ z (таким образом, для данной функции у является фиктивной переменной).

г) Составим теперь для данной функции карту Карно и сократим её. Для этого составим таблицу:

xy z	00 01 11 10
0 1	0 0 1 1 1 1 0 0

Отсюда f(x, y, z) = . Опять оказалось, что у - фиктивная переменная.