Экспериментальное подтверждение полученных результатов.
Для этого проведем серию вычислительных экспериментов. При поиске других состояний равновесия необходимо ограничить зону поиска исходя из физической сути процесса.
В приведенной на рис. 1 модели в среде
Simulink есть возможность
задавать начальные условия на интеграторах
для параметров
.
Введем следующие ограничения области поиска:
Ограничение области поиска давления уравнительного коллектора найдено исходя из того, что давление в нем не может быть меньше атмосферного и должно поддерживаться избыточным для исключения всасывания воздуха и помещения.
Ограничение на перемещение регулирующего клапана обусловлено тем, что давление пара высокого давления на номинальном режиме больше чем на заданном. Следовательно, при уменьшении давления пара высокого давления, расход пара уменьшается и регулирующий клапан закрывается.
Ограничение на величину регулирующего сигнала обусловлено величиной стандартных электрических сигналов.
Для более быстрого поиска равновесных состояний воспользуемся приведенным ниже кодом:
uo = [1.3]; iu = [1]; i=0;
for p_ = [ 1: 0.1 : 2]
for m_ = [0 : 1 : 20]
for u_ = [0, 2.5, 5, 7.5, 10]
xo = [p_; m_; u_];
yo = [u_];
[x, u, y, dx] = trim ('Yana', xo, uo, yo, [], iu, []);
i=i+1;
F(1,i)=x;
F(2,i)=y;
end;
end;
end;
По результатам проведенных исследований
можно сказать, что данная система имеет
одно состояние равновесия, вектор
состояния которого
Анализ перехода с номинального режима на заданный
Произведем анализ поведения системы при переходе с номинального на заданный режим. Вычислительный эксперимент будем проводить, используя метод Рунге-Кутта 5-го порядка с фиксированным шагом 0.0001.
Ниже представлены графики переходных процессов с выхода системы, исполнительного механизма и регулятора.
Рисунок 3. Переходные процессы в системе при выходе с номинального на заданный режим
Полученный в ходе эксперимента вектор состояний:
Полученный вектор совпадает с ранее найденным вектором состояния равновесия.
При моделировании 40 секунд процесса ушло 30 секунд реального времени при использовании ранее обозначенного метода и шага интегрирования.
Исследование численных методов
Произведем анализ устойчивости различных методов интегрирования, представленных в среде Matlab. Для этого проведем серию вычислительных экспериментов, постепенно увеличивая шаг интегрирования. В качестве критерия оценки результатов я выбрала следующее:
За желаемый примем процесс, который получается при использовании метода Рунге-Кутта 5-го порядка с шагом 0.001. Полученные при проведении экспериментов данные сведены в таблицу 2.
Таблица 2
Используемый метод |
Шаг интегрирования |
Моделируемое время |
Реальное время, сек |
Эйлера |
0.001 |
50 |
1.078 |
Рунге-Кутта 2-го порядка |
0.016 |
50 |
0.5 |
Рунге-Кутта 3-го порядка |
0.03 |
50 |
0.471 |
Рунге-Кутта 4-го порядка |
0.035 |
50 |
0.529 |
Рунге-Кутта 5-го порядка |
0.035 |
50 |
0.486 |
Адамса |
0.029 |
50 |
0.512 |
Гира |
0.0003 |
50 |
10.331 |
По результатам эксперимента для дальнейших исследований был выбран метод Рунге-Кутта 5-го порядка с шагом 0.035, так как данный метод дает приемлемое качество при максимальном шаге, а это, в свою очередь, позволит затрачивать меньше времени на моделирование процессов. Ниже представлены графики, подтверждающие выбор шага интегрирования.
Рисунок 4. Процессы в системе при использовании метода Рунге-Кутта 5-го порядка с шагом интегрирования 0.035