3.1.2. Расчет усиления в резонаторе.

Для того чтобы производить оценки энергетических параметров лазерного излучения, необходима информация о коэффициенте усиления активной среды. Коэффициент усиления света, проходящего через кристалл, связан с характеристикой перехода, так называемым, эффективным сечением перехода σ₃₂. Коэффициент усиления α₃₂ может быть выражен через населенности уровней в виде:

, (14)

где N₃ и N₂ – населенности 3-го и 2-го энергетических уровней соответственно.

Выразим коэффициент усиления через время перехода между уровнями 3 и 2 τ₃₂ и скорость накачки S₁₄ и получим следующую систему уравнений:

(15)

I_S32- интенсивность насыщения на переходе между уровнями 3 и 2, σ₁₄ - сечение перехода между уровнями 1 и 4, h∙ν₁₄ - квант энергии при переходе между уровнями 1 и 4, I_p – интенсивность накачки.

Коэффициент поглощения α на переходе накачки находим из выражения:

, (16)

где α₀ - ненасыщенный коэффициент поглощения, I_S14- интенсивность насыщения на переходе 1-4.

(17)

где N₁₍₀₎ - начальная концентрация на уровне 1.

Тогда коэффициент усиления на переходе 3-2 в этом случае может быть определен из выражения:

, (18)

где τ₃₂ - время релаксации, I_g – интенсивность генерации.

Дальнейший расчет усиления заключается в моделировании усиливающегося лазерного луча с помощью закона Бугера – Ламберта – Бера (1). Запишем его для расчёта усиления:

(19)

, где где z – путь, пройденный излучением в активной среде.

Разделив стержень на m промежутков с малыми длинами ε см, и последовательно подставляя (18) в (19), аналогично описанному выше методу расчета накачки, мы получим зависимость I_g(z).

Далее необходимо ввести во внимание воздействие зеркал резонатора на усиление. Как правило, в резонаторе используются два зеркала с коэффициентами отражения R₁=1 и R₂<1. Зеркала в резонаторе возвращают излучение обратно в активную среду, чем увеличивают путь эффективного прохождения света внутри кристалла. Из формулы (19) хорошо видна прямая зависимость I_g от z и это объясняет необходимость использования резонатора.

Легко догадаться, что в таком резонаторе после каждого прохождения светом расстояния 2l (l – длина стержня) внутри кристалла, излучение, остающееся внутри системы, будет резко терять часть своей энергии. Величина оставшейся в резонаторе интенсивности будет равна I∙R₁∙R₂ в общем случае. Принимая, что R₁ – идеальное зеркало, можно считать, что излучение теряет энергию только на одном зеркале.

Таким образом, расчет усиления можно записать в виде цикла:

-------------- рекурсия из 2∙m повторов --------------

-------------- окончание рекурсии -------------- (20)

I_g = I_g0 ∙ R₂

-------------- повторение всего цикла --------------

Когда потери в резонаторе станут равны усилению, режим работы станет установившимся и интенсивность прекратит увеличиваться. Определив установившуюся интенсивность I_max внутри резонатора, легко найти выходную интенсивность и мощность лазера, зная коэффициент отражения R₂:

I_laser = I_max ∙ (1-R₂) (21)