- •Вопрос 1
- •Вопрос 3
- •Вопрос 1
- •Вопрос 3
- •Вопрос 1
- •Вопрос 3
- •Вопрос 1
- •Вопрос 3
- •Вопрос 1
- •Вопрос 3
- •Вопрос 1
- •Вопрос 3
- •Вопрос 1
- •Вопрос 3
- •Вопрос 1
- •Вопрос 3
- •Вопрос 1
- •Вопрос 3
- •Вопрос 1
- •Вопрос 3
- •Вопрос 1
- •Вопрос 3
- •Билет №12
- •Вопрос 1
- •Вопрос 3
- •Вопрос 1
- •Вопрос 3
- •Билет №14
- •Вопрос 1
- •Вопрос 3
- •Вопрос 1
- •Вопрос 3
- •Билет №16
- •Вопрос 1
- •Вопрос 3
Вопрос 3
Определение первообразной и неопределенного интеграла
Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если
Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается как
Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение
где С - произвольная постоянная. Билет 5
Вопрос 1
Если функции f и g дифференцируемы в точке то в этой же точке дифференцируемы сумма, произведение и частное (если ) этих функций, причем
|
(cf)’=cf’, где c – произвольное число
Если f=f(g), а g=g(x), то f’(g)=g’(x)*f’(g(x))
Вопрос 3
Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция y = f(x) неотрицательна на отрезке [a; b], где a < b, численно равен площади S под кривой y = f(x) на [a; b]
путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t = a до t = b, равен определенному интегралу от скорости v(t)
работа переменной силы , величина которой есть непрерывная функция F = F(x), действующая на отрезке [a; b], равна определенному интегралу от величины F(x) силы, взятому по отрезу [a; b].
Билет 6
Вопрос 1
Сложная функция – функция от функции. Если z – функция от у, т.е. z(y), а у, в свою очередь, – функция от х, т.е. у(х), то функция f(x) = z(y(x)) называется сложной функцией (или композицией, или суперпозицией функций) от х.
В такой функции х – независимая, а у – промежуточная переменная. При этом сложная функция определена для тех значений независимой переменной, для которых значения промежуточной функции у входят в область определения функции z(y).
Производная дифференцируемой сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточной функции по независимому аргументу:
.
Эта формула легко распространяется на случай, когда у сложной функции имеется два, три и более промежуточных аргументов («цепное правило»): если z = f1(y1),y1 = f2(y2), …, yn-1 = fn(x), то
Вопрос 3
Билет 7
Вопрос 1
Понятие дифференциала функции. Связь между дифференциалом и приращением функции.
Дифференциалом функции y = f(x) называется главная линейная относительно Δx часть приращения Δy, равная произведению производной на приращение независимой переменной
dy = f'(x)D x.
Заметим, что дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной dx = Δx. Поэтому формулу для дифференциала принято записывать в следующем виде: dy = f'(x)dx. |
Вопрос 3
Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Если u(x), v(x) - непрерывно дифференцируемые функции, то . Док-во. Интегрируем равенство в пределах от a до b: . Функция в левом интеграле имеет первообразную uv, по формуле Ньютона-Лейбница , следовательно, , откуда и следует доказываемое равенство. Пример: .
Замена переменной в определённом интеграле.
Теорема. Пусть функция
определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке ,
,
функция непрерывна на отрезке [a, b].
Тогда .
Док-во. Пусть F(x) - первообразная для функции f(x), т.е. , тогда - первообразная для функции . , что и требовалось доказать.
Билет 8