2.4. Определение перемещений

Расчет вертикального перемещения сечения К₁.

Для определения вертикального перемещения сечения К₁ следует приложить вертикальную единичную силу в сечении К₁ (рис.6а). Найдем реакции опор из уравнений равновесия балки (рис.6b):

;

.

Рис.6. К определению перемещения сечения К₁ и угла поворота сечения К₂

Изобразим найденные реакции на схеме (рис.6c). Сделаем проверку:

Полученное тождество показывает, что реакции вычислены правильно.

Далее, используя метод сечений, строим эпюру изгибающего момента . Делаем сечение на участке АК₁ и составляем уравнение равновесия моментов для левой отсеченной части (рис.6d):

.

Вычислим значения момента при z₁ = 0 и z₁ = 2:

Затем делаем сечение на участке К₁В и рассматриваем левую отсеченную часть (рис.6е). Уравнение равновесия моментов:

; .

В сечении К₁ при , в сечении В при .

Делаем сечение на участке ВК₂ (рис.6f) и, составив уравнение равновесия моментов для правой отсеченной части, видим, что на этом участке

По найденным значениям строим эпюру (рис.6g — для инженеров-транспортников и рис.6h — для инженеров - строителей).

Вертикальное перемещение сечения К₁ определяется с помощью интегралов Мора, а сами интегралы вычисляем по правилу Симпсона, рассматривая последовательно участки АК₁, К₁В, ВК₂. При вычислении учитываем, что модуль упругости равен Е = 210¹¹ Па, момент инерции выбранного двутавра равен J_x = 708010^-8 см⁴ и изгибающий момент М переводим из килоньютонов, умноженных на метр, в ньютоны, умноженные на метр:

Проверим правильность вычислений, применив метод Верещагина.

Площадь эпюры М на участке АК₁ равна ; ордината из эпюры под центром тяжести площади ₁ равна .

На участке К₁В эпюру моментов М рассматриваем как разность прямоугольника и "горбушки". Площадь прямоугольника равна ; ордината из эпюры под центром тяжести площади ₂ равна ; площадь горбушки равна ; ордината из эпюры под центром тяжести площади ₃ равна .

Вычисляем перемещение способом Верещагина

.

Как видим, результаты вычисления интегралов Мора, полученные с помощью метода Верещагина и через формулу Симпсона, одинаковы. Знак "минус" перед перемещением свидетельствует о том, что сечение К₁ перемещается вверх, в сторону, противоположную направлению единичной силы.

Расчет угла поворота сечения К₂.

Для определения угла поворота сечения К₂ следует приложить единичный момент в сечении К₂, (рис.6i), и построить эпюру изгибающих моментов , возникающих в балке при таком нагружении.

Найдем реакции из уравнений равновесия балки (рис.6j):

,

.

Изобразим найденные реакции опор на схеме (рис.6k). Для проверки найдем сумму моментов относительно точки К₂: Следовательно, реакции вычислены верно. Далее строим эпюру изгибающего момента , используя метод сечений.

Делаем сечение на участке АВ и рассматриваем левую отсеченную часть (рис.6l). Из уравнения равновесия моментов получим . Затем вычисляем моменты в сечениях А и В: в сечении А при , т.е. ; в сечении В при .

Делаем сечение на 2-м участке и рассматриваем правую отсеченную часть (рис.6m). Составим уравнение равновесия моментов

; .

По найденным значениям строим эпюру (рис.6n — для инженеров - транспортников и рис.6o — для инженеров - строителей). Затем вычислим угол поворота сечения К₂, используя правило Симпсона для вычисления интегралов Мора: