- •Конспект по системам счисления.
- •Римская система счисления.
- •Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную.
- •Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную.
- •Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную.
- •Арифметические операции в восьмеричной системе счисления.
- •Арифметические операции в шестнадцатеричной системе счисления.
- •Вариант №2.
- •Вариант №3.
- •Вариант №4.
- •Вариант №5.
Конспект по системам счисления.
Система счисления - символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.
Существуют три группы систем счисления:
позиционные;
непозиционные;
смешанные.
В непозиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.
Римская система счисления.
Алфавит:
I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, L — 50, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum — сто, Demimille — половина тысячи, Мille — тысяча).
Правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.
Например, IX — обозначает 9, XI — обозначает 11.
Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, единиц. Например, десятичное число 28 представляется следующим образом:
XXVIII=10+10+5+1+1+1 (три десятка, пяток, три единицы).
Десятичное число 99 имеет следующее представление:
XCIХ = -10+100-1+10.
В позиционных системах счисления количественный эквивалент (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.
Основные достоинства любой позиционной системы счисления — простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов (цифр), необходимых для записи любых чисел.
В системе счисления с основанием q (q-ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q, иначе говоря, q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи чисел в q-ичной системе счисления требуется q различных цифр (0,1,...,q-1). Количество цифр используемых в системе счисления называется её «основанием».
В позиционной системе счисления любое вещественное число в развернутой форме может быть представлено в следующем виде:
Аq= ± (an-1qn-1+an-2qn-2+...+a0q0+a-1q-1+a-2q-2+...+a-mq-m)
Здесь А — само число,
q — основание системы счисления,
ai —цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления,
n — число целых разрядов числа,
m — число дробных разрядов числа.
Десятичная система характеризуется тем, что в ней 10 единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего старшего разряда. Другими словами, единицы различных разрядов представляют собой различные степени числа 10.
Алфавит десятичной СС: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Основание: 10.
Для десятичной СС развернутая форма будет выглядеть следующим образом:
А10= ± (an-110n-1+an-210n-2+...+a0100+a-110-1+a-210-2+...+a-m10-m)
Пример: число в развернутом виде 1586,2510 =1*103+5*102+8*101+6*100+2*10-1+5*10-2
Двоичная система счисления. Для составления машинных кодов удобно использовать не десятичную, а двоичную систему счисления.
Алфавит: 0, 1.
Основание: 2.
Пример. Записать двоичное число 1001,12 в развернутом виде.
Решение. 1001,12=1·23+0·22+0·21+1·20+1·2-1
Программисты для вычислений также пользуются ещё восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления.
Восьмеричная система счисления.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Основание: 8.
Пример. Записать восьмеричное число 7764,18 в развернутом виде.
Решение. 7764,18=7·83+7·82+6·81+4·80+1·8-1
Шестнадцатеричная система счисления.
Алфавит: цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и буквы A=(10), B=(11), C=(12), D=(13), E=(14), F=(15).
Основание: 16.
Пример. Записать шестнадцатеричное число 3АF16 в развернутом виде.
Решение. 3АF16 = 3·162+10·161+15·160
Перевод чисел в различные системы счисления.
Перевод целого числа из десятичной системы счисления в любую другую систему счисления. При переводе целого числа из десятичной системы счисления в любую другую систему счисления, нужно это число последовательно делить на основание новой системы счисления так, чтобы в остатках от деления были только символы новой системы счисления. Число в новой системе счисления записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего. Например, переведём число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:
Таким образом, число 7510 = 10010112 = 1138 = 4В16
При переводе дробной части числа из десятичной системы счисления в любую другую систему счисления, нужно дробную часть числа последовательно умножать на основание новой системы счисления. Дробная часть числа в новой системе счисления записывается как последовательность целых частей от умножения, записанных в прямом порядке, начиная с первого.
Например, переведём дробное число 0, 96 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:
Таким образом, число 0,9610 = 0,1111012 = 0,753418 = 0.F5C28F16
Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления.
При переводе числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления нужно каждый символ этого числа умножить на основание системы счисления, в которой записано это число, в степени соответствующей положению символа в записи числа и все произведения сложить.
Например:
1) переведём число 101100, 10112 из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления:
101100, 1012 = 1*25 + 0*24 + 1*23 + 1*22 + 0*21 + 0*20 + 1*2-1 + 0*2-2 + 1*2-3 = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 0 + 0,5 + 0 + 0,125 = 44, 62510
2) переведём число 375,6248 из восьмеричной системы счисления в десятичную систему счисления:
375, 6248 = 3*82 + 7*81 + 5*80 + 6*8-1 + 2*8-2 + 4*8-3 = 192 + 56 + 5 + 0,75 + 0,03125 + 0,00781835938 = 253, 7890683593810
3) переведём число ACF,5D16
ACF, 5D16= 10*162 + 12*161 + 15*160 + 5*16-1 + 13*16-2 = 256 + 192 + 15 + 0,3125 + 0,050775 = 463, 36327510
Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно
Перевод чисел между системами счисления, основания которых являются степенями числа 2 (q = 2n), может производиться по более простым алгоритмам. Такие алгоритмы могут применяться для перевода чисел между двоичной (q = 21), восьмеричной (q = 23) и шестнадцатеричной (q = 24) системами счисления.