§2.2. Приведение квадратичной формы к главным осям.
Теория приведения квадратичной формы к каноническому виду, изложенная в предыдущем параграфе, построена по аналогии с геометрической теорией центральных кривых второго порядка, но не может считаться обобщением этой последней теории. В самом деле, в нашей теории допускается использование любых невырожденных линейных преобразований, в то время как приведение кривой второго порядка к каноническому виду достигается применением линейных преобразований весьма специального вида (2), являющихся вращениями плоскости. Эта геометрическая теория может быть, однако, обобщена на случай квадратичных форм от неизвестных с действительными коэффициентами, если потребовать, чтобы матрица преобразования была ортогональной. Такое преобразование называется ортогональным, а сама процедура приведением квадратичных форм к главным осям.
ТЕОРЕМА. Каждая квадратичная форма некоторым ортогональным преобразованием может быть приведена к каноническому виду.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Будем смотреть на матрицу квадратичной
формы как на матрицу некоторого линейного
оператора в евклидовом пространстве.
Если
матрица квадратичной формы, то она
симметрическая порядка
.
Если
некоторый ортонормированный базис
мерного
евклидова пространства, то матрица
задаёт в этом базисе симметрический
оператор
.
По основной теореме о симметрических
операторах в евклидовом пространстве
в подходящем ортонормированном базисе
его матрица
будет диагональной. Пусть
матрица перехода от
к
,
тогда
.
Но матрица
,
как матрица перехода от одного
ортонормированного базиса к другому,
по теореме 2 §1.6
будет ортогональной, а значит,
.
Поэтому
.
А именно так преобразуется матрица
квадратичной формы, подвергнутой
линейному преобразованию неизвестных
с матрицей
.
Итак, преобразование неизвестных, имеющее матрицу ортогонально, а матрица , будучи диагональной, соответствует квадратичной форме канонического вида. □
Тот факт, что матрица линейного оператора в базисе, составленном из собственных векторов, имеет диагональный вид (с собственными значениями по главной диагонали) [2], даёт нам метод практического отыскания канонического вида квадратичной формы, а также самого этого ортогонального преобразования.
Пример 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму
к каноническому виду и написать этот канонический вид.
Решение. Матрица этой формы имеет вид
,
Найдём её характеристический многочлен:
.
Таким образом,
матрица
имеет двукратный корень
и простой корень
.
Следовательно, канонический вид данной
квадратичной формы будет
.
Найдём ортогональное
преобразование, осуществляющее это
приведение. Для этого найдём собственные
векторы, соответствующие найденным
собственным значениям
,
т. е. решим системы линейных однородных
уравнений
для каждого
.
При
имеем
.
Откуда
,
т. е. имеются 2 независимые переменные,
и фундаментальный набор решений будет:
Применив к ним процесс ортогонализации, получим:
При
имеем
.
Данная система эквивалентна следующей:
,
решением которой будет
.
Остаётся нормировать
систему
:
Таким образом искомое преобразование имеет вид:
Для того чтобы
найти матрицу преобразования
,
нужно выразить переменные
через
,
т. е. найти матрицу, обратную матрице
преобразования
.
А так как
,
то достаточно транспонировать матрицу
преобразования
.
Окончательно имеем:
.