§1.10. Линейные операторы в евклидовом пространстве.
Как уже отмечалось в §1.4 (теорема 3), в унитарном пространстве всякий линейный оператор имеет собственный вектор (одномерное инвариантное подпространство). В случае евклидова пространства это утверждение неверно. Однако имеет место следующая
ТЕОРЕМА 1. У всякого линейного оператора в евклидовом пространстве существует одномерное или двумерное инвариантное подпространство.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Выберем в
базис
.
Оператору
в этом базисе соответствует матрица
.
Рассмотрим систему уравнений
(1)
и будем искать для
нее ненулевое решение
.
Такое решение существует тогда и только
тогда, когда определитель
равен нулю. Приравняв
его нулю, мы получим уравнение
ой
степени относительно
с действительными коэффициентами. Пусть
есть корень этого уравнения. Возможны
два случая:
a) есть вещественный корень этого уравнения. Тогда можно найти вещественные не все равные нулю числа , являющиеся решением системы (1). Считая их координатами некоторого вектора в базисе , мы можем систему (1) переписать в виде
(где
столбец из координат вектора
)
или
,
т. е. порождает одномерное инвариантное подпространство.
b) 
,
т. е.
комплексно. Пусть
есть решение
системы (1), подставляя эти числа вместо
в (1)
и отделяя
вещественную часть от мнимой, получим:
(2)
и соответственно
(2')
Будем теперь
(соответственно
)
считать координатами некоторого вектора
(соответственно
)
в
,
тогда соотношения
(2) и (2') можно записать следующим образом:
(3)
Равенства (3) означают, что двумерное подпространство, порожденное векторами и , инвариантно относительно . □
Если потребовать
в доказательстве теоремы, чтобы базис
был ортонормированным, а оператор
нормальным, то векторы
и
будут ортогональными. Действительно,
если
собственное значение, то и
также будет собственным значением (как
корни многочлена с действительными
коэффициентами). Соответствующие
собственные векторы
,
будут ортогональными
(теорема 2 §1.4).
Тогда
.
Следовательно,
.
Докажем теперь,
что подпространство векторов
,
ортогональных векторам
и
,
инвариантно, относительно оператора
.
Оно является пересечением двух
подпространств, ортогональных собственным
векторам нормального оператора. Если
,
т. е.
,
то
.
Аналогично,
.
Рассмотрим
ограничение
оператора
в двумерном подпространстве, порождённом
векторами
и
из доказательства предыдущей теоремы.
Матрица
оператора
в базисе
будет:
.
Представляя
комплексное число
в тригонометрической форме
,
придадим матрице
следующий вид
.
Таким образом, оператор есть композиция операторов с матрицами
и
.
Первый из которых
соответствует преобразованию подобия
с центром в начале координат и коэффициентом
растяжения
;
второй
поворот в плоскости
на угол
около начала координат.
ТЕОРЕМА 2. (основная о нормальных операторах в евклидовых пространствах). Матрица нормального оператора в евклидовом пространстве имеет клеточно-диагональный вид в подходящем ортонормированном базисе. В клетках порядка 1 находятся действительные числа, а клетки порядка 2 имеют вид .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Оно аналогично доказательству теоремы 3 §1.4 о нормальных операторах. Отличие состоит в том, что мы не можем утверждать, что характеристический многочлен всегда имеет действительный корень. Но тогда он имеет 2 комплексно-сопряжённых корня и , которые по теореме 1 позволяют определить подпространство размерности 2, инвариантное относительно , которое порождено двумя ортогональными векторами и . Клетка матрицы ограничения оператора в базисе имеет вид .
Так как пространство векторов, ортогональных векторам и так же инвариантно относительно , то осталось воспользоваться индукцией по размерности пространства. □
ТЕОРЕМА 3. (основная
об ортогональных операторах в евклидовых
пространствах). В
подходящем ортонормированном базисе
матрица ортогонального оператора
клеточно-диагональная с клетками порядка
1 и 2; причём в клетках порядка 1 содержатся
числа 1 или -1, а клетки порядка 2 имеют
вид
,
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Оно следует из теоремы 2 о нормальных
операторах в евклидовых пространствах
и того факта, что собственные значения
ортогонального оператора (как частного
случая унитарного оператора) по модулю
равны 1. Действительно, если модули
собственных значений чисел
и
равны 1, то в тригонометрической форме
и клетка
имеет вид
.
□
Пример 3. Рассмотрим
трёхмерное евклидово пространство
.
По теореме 3 для каждого ортогонального
оператора
пространства
можно найти такую ортонормированную
систему векторов
,
что матрица оператора
будет иметь один из следующих шести
видов:
Операторы соответствуют следующим преобразованиям пространства:
тождественное преобразование;
зеркальное отображение относительно плоскости
;зеркальное отображение относительно прямой
;зеркальное отображение относительно точки
;вращение на угол около оси
;вращение на угол около оси , сопровождаемое зеркальным отображением относительно плоскости .
Для симметрических операторов теорема формулируется так же, как и для эрмитовых. Согласно теореме 2 данного параграфа матрица оператора распадается на клетки порядков 1 или 2. При этом клетки порядка 2 появляются только тогда, когда характеристический многочлен оператора имеет комплексные корни. Но характеристические корни симметрических операторов действительны. Следовательно, справедлива
ТЕОРЕМА 4. (основная о симметрических операторах). Матрица симметрического оператора в подходящем ортонормированном базисе является диагональной с действительными числами по главной диагонали. □
ТЕОРЕМА 5. (основная
о кососимметрических операторах в
евклидовых пространствах). В
подходящем ортонормированном базисе
матрица кососимметрического оператора
евклидова пространства имеет
клеточно-диагональный вид с клетками
порядков 1 или 2; причём в клетках порядка
1 находится число 0, а клетки порядка 2
имеют вид
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО следует из теоремы 2 о нормальных операторах в евклидовых пространствах и того факта, что собственные значения кососимметрического оператора либо 0, либо чисто мнимое число. □
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I.
1. Выяснить, являются ли ортогональными в евклидовом пространстве следующие системы векторов:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
?
2. Установить,
образует ли каждая из указанных систем
векторов ортогональный базис в евклидовом
пространстве
:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
?
3. Является ли нормированным каждый из векторов евклидова пространства :
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
?
4. Применяя процесс
ортогонализации, по данному базису
евклидова пространства
,
построить ортонормированный:
а)
;
б)
;
в)
.
5. Применяя процесс
ортогонализации, по данному базису
евклидова пространства
,
построить ортонормированный:
а)
;
б)
.
6. Даны векторы евклидова пространства . Найти длины векторов и , их скалярное произведение, косинус угла между ними:
а)
;
б)
;
в)
.
7. Выяснить, является ли матрица ортогональной, и если является, то найти обратную ей:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
8. Какому условию
должны удовлетворять
и
,
чтобы матрица
была ортогональной?
9. Оператор
в некотором ортонормированном базисе
задан матрицей
.
Выяснить, является ли оператор
ортогональным, если:
а)
б)
в)
10. При каких условиях диагональная матрица будет ортогональной?
11. Оператор
имеет в некотором ортонормированном
базисе матрицу
.
Найти матрицу сопряжённого оператора
в том же базисе, если:
а)
б)
в)
12. Оператор имеет в некотором ортонормированном базисе матрицу . Выяснить, является ли оператор самосопряжённым, если:
а)
б)
в)
г)
13. При каком значении оператор, заданный матрицей в некотором ортонормированном базисе, является одновременно ортогональным и самосопряжённым, если:
а)
б)
14. Линейный
оператор
в некотором ортонормированном базисе
имеет матрицу
.
Найти матрицу сопряжённого оператора
в ортонормированном базисе
,
если:
а)
б)
в)
