§1.2. Изоморфизм унитарных пространств.

Два унитарных (или евклидовых) пространства и называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие , для которого

и .

ТЕОРЕМА. (об изоморфизме унитарных пространств). Два унитарных пространства изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, что если и изоморфны, то они являются изоморфными, как линейные пространства. Однако изоморфные линейные пространства имеют одинаковую размерность [1].

Обратно, пусть размерности и равны, а и , соответственно, их ортонормированные базисы. Зададим отображение следующим образом: если

,

то считаем

.

Это отображение взаимнооднозначно и сохраняет операции сложения и умножения на число. Значит, они изоморфны, как линейные пространства.

Покажем, что сохраняет скалярное произведение. Рассмотрим два произвольных вектора

,

.

Тогда

и

То есть . □

§1.3. Линейные функции.

Рассмотрим произвольное линейное пространство над полем . Отображение называется линейной функцией, если

Нетрудно проверить, что если и линейные функции, то и , такие что и , так же являются линейными функциями. Поэтому, множество всех линейных функций, заданных в образуют линейное пространство относительно их сложения и умножения числа на функцию.

ЛЕММА. (о существовании и единственности линейной функции). Для любого базиса линейного пространства и любого набора существует единственная линейная функция , такая, что

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть произвольный вектор из . Зададим отображение следующим образом:

,

Очевидно, что .

Проверим, что линейная функция. Пусть . Тогда

.

Докажем единственность. Предположим, что существует другая линейная функция , удовлетворяющая условию леммы, т. е.

. Тогда . □

Пусть унитарное пространство. Положим по определению для любых и фиксированного . Тогда имеет место

ТЕОРЕМА. Функция является линейной и однозначно определяется по . Обратно, для каждой линейной функции существует элемент , такой что .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вначале докажем линейность функции. Действительно

.

Пусть теперь , тогда . При имеем , т. е. . Тем самым показано, что каждому соответствует единственная линейная функция .

Наконец, пусть произвольная линейная функция, заданная в пространстве . Докажем, что существует элемент , такой, что для любых . Пусть ортонормированный базис пространства . По лемме, существует единственный набор , такой, что . Рассмотрим вектор

,

тогда . Для произвольного вектора , имеем

. □

§1.4. Сопряжённые операторы.

Построим по каждому линейному оператору мерного унитарного пространства оператор , сопряжённый данному. Выберем в вектор и рассмотрим функцию переменной . Эта функция является линейной. Действительно

С другой стороны , где по теореме из предыдущего параграфа определяется однозначно по функции , т. е. по и . Таким образом, при фиксированном для каждого имеется единственный вектор . Оператор называется сопряжённым к , т. е.

Покажем, что для каждого сопряжённый оператор определяется однозначно. Предположим, что существует оператор , такой что , тогда

.

Нетрудно убедиться в том, что сопряжённый оператор является линейным. Действительно

.

Значит .

Отметим следующие свойства сопряжённого оператора:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Докажем первое свойство.

. Другие свойства доказываются аналогично.

Если квадратная матрица порядка , то матрица , полученная из заменой всех её элементов на комплексно-сопряжённые и последующим её транспонированием, называется сопряжено транспонированной. Т. е. если , то .

ТЕОРЕМА. Если линейный оператор в ортонормированном базисе имеет матрицу , то сопряжённый оператор будет иметь в этом базисе сопряжено транспонированную матрицу.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть в унитарном пространстве задан ортонормированный базис , а матрицы операторов и в этом базисе будут соответственно , т. е. для любых

;

.

Домножим первое равенство справа на , получим

, следовательно . □

Пример 1. Линейный оператор задан в евклидовом пространстве в базисе из векторов матрицей

.

Найти матрицу сопряжённого оператора в том же базисе, считая, что координаты векторов базиса даны в некотором ортонормированном базисе.

Решение. Координаты векторов заданы в некотором ортонормированном базисе . Матрица перехода от к будет

.

Значит, , где матрица того же оператора в ортонормированном базисе. Откуда .

Находим

.

Тогда

.

Матрица сопряжённого оператора будет по предыдущей теореме сопряжено транспонированной, а так как оператор задан в евклидовом пространстве, то просто транспонированной.

.

Возвращаемся к исходному базису