§3.4. Связь подобия числовых матриц с

эквивалентностью их характеристических матриц.

Как известно [1], две квадратные матрицы порядка подобны тогда и только тогда, когда они задают один и тот же линейный оператор в разных базисах. Однако мы не можем пока ответить на вопрос, подобны ли данные числовые матрицы и (т. е. матрицы с элементами из основного поля ). Тем не менее, их характеристические матрицы и являются матрицами, и вопрос об эквивалентности этих матриц решается вполне эффективно. Ответ на вопрос о связи подобия числовых матриц с эквивалентностью их характеристических матриц даёт следующая

ТЕОРЕМА. Матрицы и с элементами из поля тогда и только тогда подобны, когда их характеристические матрицы и эквивалентны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть матрицы и подобны, т. е. над полем существует такая невырожденная матрица , что

Тогда

Невырожденные числовые матрицы и являются, однако, унимодулярными матрицами. Матрица получена умножением матрицы слева и справа на унимодулярные матрицы, т. е. .

Обратно, пусть

Тогда существуют такие унимодулярные матрицы и , что

. (1)

Учитывая, что для унимодулярных матриц обратные матрицы существуют и являются матрицами, выведем из (1) равенства, которые будут использованы в дальнейшем для доказательства:

(2)

Так как матрица имеет по степень , причем старшим коэффициентом соответствующего матричного многочлена служит невырожденная матрица , то к матрицам и можно применить алгоритм деления с остатком. Значит, существуют такие матрицы и , причём, степень , если , равна по , что

. (3)

Аналогично

. (4)

Используя (3) и (4) и учитывая (1), получаем:

или, применяя (2),

Квадратная скобка, стоящая справа, равна в действительности нулю: в противном случае она, являясь матрицей, так как и и есть матрицы, имела бы по меньшей мере степень , а тогда степень фигурной скобки была бы не меньше и, следовательно, степень всей правой части была бы не меньше . Это, однако, невозможно, так как слева стоит матрица степени .