§4.3. Поля вычетов.
Пусть
множество всех остатков от деления
целых чисел на натуральное число
,
т. е.
.
Суммой
(произведением)
двух элементов будем считать остаток
от деления этой суммы (произведения)
на число
.
Рассмотрим полученную структуру
.
ТЕОРЕМА 6. Если составное, то не является полем.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть
составное, т. е.
,
где
и
.
Тогда по модулю
получаем
,
но
и
.
Так как в поле такого быть не может
(теорема 5), то при составном
остатки
с операциями по модулю
не образуют поля. □
Покажем
теперь, что в случае простого
,
является полем. Вначале заметим
следующее. Пусть
и
— два целых числа,
остатки от деления их на
,
т. е.
и
.
Тогда
и
,
откуда получаем, что числа
и
,
а также числа
и
дают при делении на
одинаковые остатки. Другими словами,
мы получим одинаковый результат, если
сначала возьмем остатки от деления
и
на
и потом сложим (или умножим) их по модулю
,
или, если мы сначала сложим (или умножим)
и
,
как обычные натуральные числа, а затем
возьмем остаток от деления полученного
числа на
.
Таким образом, при вычислении некоторого
выражения с операциями по модулю
можно не брать остаток от деления на
после каждой операции, а произвести
вычисления сначала как с обычными
натуральными числами и обычными
операциями и только в конце взять
остаток от деления полученного числа
на
.
Это позволяет утверждать, что операции
сложения и умножения ассоциативны и
коммутативны, а также справедлива
дистрибутивность умножения относительно
сложения.
Нейтральным
элементом по сложению является
,
а единичным элементом по умножению
.
Остается показать, что при
простом у каждого остатка
,
отличного от
,
есть обратный, т. е. что найдется остаток
такой, что
по модулю
.
Итак, пусть
.
Рассмотрим числа
(умножение обычное).
Разность
любых двух из этих чисел
не делится на
,
так как
простое, а
и
.
Таким образом, все эти
чисел дают разные и, следовательно,
всевозможные остатки при делении на
.
Значит, одно из этих чисел дает при
делении на
остаток
,
т. е.
по модулю
для некоторого остатка
.
Таким образом, при простом все свойства поля выполняются.
В качестве примера приведём таблицы сложения и умножения элементов поля вычетов по модулю 5.
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
0 |
2 |
2 |
3 |
4 |
0 |
1 |
3 |
3 |
4 |
0 |
1 |
2 |
4 |
4 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
2 |
0 |
2 |
4 |
1 |
3 |
3 |
0 |
3 |
1 |
4 |
2 |
4 |
0 |
4 |
3 |
2 |
1 |
По этим таблицам также можно получить разность и частное любых двух элементов.