5. Геометрическое определение вероятности

Условия применения геометрического подхода к определению вероятности, формула геометрического определения вероятности.

5.1. На отрезке ОА длины l числовой оси наудачу поставлены две точки В и С, причем С правее В. Найти вероятность того, что длина отрезка ВС будет меньше длины отрезка ОВ.

5.2. Значения параметров а и b выбираются случайным образом из отрезка [-1;1]. Найти вероятность того, что при подстановке их в уравнение корни уравнения будут:

а) действительными; b) одинаковыми.

5.3. Деревянный брусок длины l распилили на три части в случайно выбранных двух точках. Найти вероятность того, что из полученных частей можно построить ограждение треугольной формы.

5.4. Приемник и передатчик включаются в случайные моменты времени от 13 до 14 часов. Сигнал длится 10 минут, а приемник после включения работает в течение часа. Найти вероятность того, что сигнал: а) будет зафиксирован; b) будет принят полностью.

5.5. Из отрезка [1;3] наудачу выбраны два числа. Найти вероятность того, что их произведение будет не больше 2.

5.6. Служебный автобус и один из его пассажиров подходят к остановке в случайные моменты времени от 6 часов до 6 часов 20 минут. Автобус стоит на остановке в течение 5 минут, а затем уезжает. Найти вероятность того, что пассажир опоздает на автобус.

5.7. Значения параметра а выбираются случайным образом из отрезка [0;1], а параметра b – из отрезка [-1;0]. Сколь вероятно, что прямая y=ax+b пересечет ось Ох на отрезке [0; ]?

5.8. Магнитофонную ленту длиной 300 м разрезали на 2 части в случайно выбранной точке. Какова вероятность того, что длина меньшей части не превзойдет 100 метров?

5.9. На плоскости проведены параллельные линии, расстояние между которыми попеременно равны 1,5 и 8 сантиметров. Найти вероятность того, что наудачу брошенный на эту плоскость круг радиуса 2,5 см не будет пересечен ни одной линией.

5.10. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение суток; время стоянки первого парохода один час, а второго – 2 часа. Найти вероятность событий:

А – {второму пароходу придется ожидать освобождения причала, но не

более 15 мин},

В – {ни одному из пароходов не придется ожидать освобождения причала}.

5.11. Имеется магнитофонная лента длиной 200 м, на обеих сторонах которой записаны сообщения: на одной стороне длиной 30 м, а на другой – длиной 50 м. Местоположение записей неизвестно. В связи с повреждением ленты пришлось удалить ее участок длиной 10 м, начиная с расстояния 80 м от начала ленты. Найти вероятность того, что ни одна из записей не будет повреждена.

5.12. К автобусной остановке с интервалом в 20 минут подходят автобусы некоторого маршрута. При этом первый из них может подойти равновозможно в любой момент времени от 6 часов до 6 часов 10 минут. Пассажир подходит к остановке в случайный момент времени от 6 часов до 6 часов 30 минут и ждет автобуса 10 минут, после чего (если автобус не приходит в течение этого времени) уезжает на попутной машине. Найти вероятность того, что пассажир уедет на автобусе.

5.13. На единичной окружности случайным образом поставлены 3 точки. Найти вероятность того, что при соединении их хордами получится:

а) остроугольный треугольник;

b) прямоугольный треугольник.

5.14. Из пункта А в пункт В ведут две дороги: прямая и объездная, через пункт С; при этом |АС|=40 км, |ВС|=30 км, |АВ|=50 км. В один и тот же момент из А в В выехали две машины. Первая поехала по прямой дороге с постоянной скоростью V₁, которая может быть случайной и равновозможной от 50 км/ч до 75 км/ч, а вторая – в объезд с постоянной скоростью V₂, которая может быть случайной и равновозможной от 60 км/ч до 100 км/ч. Найти вероятность того, что в момент прибытия второй машины в пункт С первая машина не пройдет и половины пути до В.

5.15. Задача Бюффона. На поверхности стола проведены параллельные линии на расстоянии 2b друг от друга. На стол случайный образом бросают иглу длиной 2l (l<b). Найти вероятность того, что игла пересечет одну из прямых.

5.16. Лодка перевозит груз с одного берега пролива на другой за один час. Какова вероятность того, что идущее вдоль пролива судно будет замечено с лодки, если судно с лодки обнаруживают в случае, когда пересекают его курс не ранее, чем за 20 минут до пересечения судном курса лодки, и не позднее, чем через 20 минут после пересечения судном курса лодки? Любой момент и любое место пересечения судном курса лодки равновозможны. Курс судна перпендикулярен курсу лодки.

5.17. Определить вероятность взрыва корабля при форсировании минного заграждения, если якорные контактные мины поставлены в один ряд на расстоянии с друг от друга, а курс корабля составляет угол с линией расположения мин. Ширина корабля равна b; диаметр мин равен d; пересечение кораблем линии расположения мин равновозможно в любой точке.

5.18. В круге радиуса R проводятся хорды параллельно заданному направлению. Какова вероятность того, что длина наугад взятой хорды не более R, если равновозможны любые положения точек пересечения хорды с диаметром, перпендикулярным заданному направлению.

5.19. Прямоугольная решетка состоит из цилиндрических прутьев радиуса r. Расстояния между осями прутьев равны соответственно а и b. Определить вероятность попадания шариком диаметра d в решетку при одном бросании без прицеливания, если траектория полета шарика перпендикулярна плоскости решетки.

5.20. В случайный момент времени от 5 часов до 5 часов 30 минут начинается передача сигнала, который длится 5 минут. Через 20 минут после окончания сигнала он повторяется вновь (1 раз). Приемник включается в случайный момент времени от 5 до 6 часов на 15 минут. Определить вероятность того, что сигнал: а) будет принят полностью; b) будет зафиксирован.