3. Операции со случайными событиями

Дополнение (противоположное событие), пересечение, объединение, разность, симметрическая разность. Несовместные, равновозможные события; события, образующие полную группу.

3.1. В школьной библиотеке имеется 6 томов произведений А.С. Пушкина с номерами 1, 2, …, 6 соответственно (каждый из томов не менее, чем в трёх экземплярах). Три ученика, посетившие библиотеку, взяли для прочтения каждый один из томов. Заданы случайные события:

А – {все ученики выбрали том №6},

B – {хотя бы один ученик выбрал том №1},

C – {двое (ровно) выбрали том №1},

D – {никто не выбрал том №6},

E – {все выбрали тома с чётными номерами},

F – {все выбрали тома с разными номерами}.

Среди данных событий указать все

а) пары несовместных событий,

б) пары событий, одно из которых влечёт другое.

3.2. В каждой группе событий выделите равновозможные, на ваш взгляд, события.

а) Одновременно подбросили три монеты.

А₁ – {выпали все «решки»},

А₂ – {выпали все «гербы»},

А₃ – {выпал один «герб»},

А₄ – {выпало два «герба»}.

б) Из полного набора костей домино взяты наудачу 2 кости.

B₁ – {взяты два дупля},

B₂ – {взяты две кости с «шестёркой»},

B₃ – {взяты один дупель и один «не дупель»},

B₄ – {взяты два «не дупля»}.

в) Загадывается трёхзначное число.

C₁ – {загадано чётное число},

C₂ – {загадано нечётное число},

C₃ – {первая цифра меньше второй},

C₄ – {вторая цифра меньше первой}.

г) На отрезок [0, 1] действительной оси наудачу ставятся две точки.

D₁ – {обе точки попали на левую половину отрезка},

D₂ – {обе точки попали на правую половину отрезка},

D₃ – {точки попали в разные половины отрезка},

D₄ – {точки попали в одну и ту же половину отрезка}.

3.3. Относительно событий, перечисленных в каждом примере, указать, образуют ли они полную группу:

а) По каналу связи передано 5 сообщений.

A₁ – {правильно передано чётное количество сообщений},

A₂ – {неверно передано не более трёх сообщений},

A₃ – {все сообщения переданы одинаково (либо все верно, либо все не верно)}.

б) 4 прибора испытывают на качественность.

B₁ – {все приборы оказались качественными},

B₂ – {количество неисправных приборов меньше количества качественных},

B₃ – {имеются качественные и неисправные приборы}.

в) Из колоды карт в 36 листов выбраны 4 карты.

C₁ – {выбраны все тузы},

C₂ – {выбраны все фигуры (вальты, дамы, короли)},

C₃ – {выбраны все «числа» (6, 7, 8, 9, 10)}.

3.4. Пусть . Образуют ли следующие системы множеств полную группу попарно несовместных событий?

а)

б)

в)

3.5. Студенту на экзамене задаётся 4 вопроса. Пусть – {студент ответил на -ый вопрос}, . Используя операции: дополнение, пересечение и объединение, выразить через события , следующие случайные события:

B – {студент ответил на все вопросы},

C – {студент не ответил хотя бы на один вопрос},

D – {студент ответил только на второй вопрос},

E – {студент ответил на один (ровно) вопрос},

F – {студент ответил не менее, чем на два вопроса}.

3.6. Проводится наблюдение за группой, состоящей из 4 однородных объектов. Каждый из объектов за время наблюдения может быть обнаружен или нет. Пусть события:

A – {обнаружен ровно один объект},

B – {хотя бы один объект не обнаружен},

C – {обнаружено не менее двух объектов},

D – {ни один объект не обнаружен}.

Указать в чём состоят события: , , , , , , .

3.7. Девушка приходит на дискотеку, где уже собралось человек, и начинает отыскивать знакомых среди собравшихся. Пусть

A – {среди собравшихся найдётся знакомых},

B – {среди собравшихся найдётся незнакомых людей}.

Показать, что события и достоверные.

3.8. На отрезке наудачу последовательно ставятся две точки. Пусть - координаты этих точек.

A – {вторая точка ближе к левому концу отрезка, чем первая точка к правому концу};

B – {расстояние между точками меньше половины длины отрезка}. Изобразить на плоскости области, соответствующие событиям: , , , , , , .

3.9. Три баскетболиста по очереди забрасывают мяч в корзину до первого попадания одним из них (тот и выигрывает). Пусть - { -ый баскетболист попал при своём -ом броске}, , . Выразить события - {выиграл -ый баскетболист}, через , , .

3.10. Используя определения операций над случайными событиями, доказать, что: , , .

3.11. Найти все события и такие, что:

а) ,

б) .

3.12. Доказать, что события и совместны тогда и только тогда, когда пересечение событий , и не пусто.

3.13. Игральный кубик подброшен 1 раз.

A – {выпала грань с нечётным номером},

B – {выпало число очков, кратное 3},

C – {выпало число очков не менее 4}.

Сформулировать, в чём состоят события , , , . Являются ли события и несовместными, а события и равновозможными? Верно ли, что ?

3.14. Произведено 5 выстрелов по мишени.

A – {имеется хотя бы одно попадание},

B – {попаданий больше, чем промахов},

C – {промахов не менее двух}.

Указать, в чём состоят события , , , , .

3.15. Из колоды карт в 36 листов наудачу выбирают одну карту.

A – {выбран туз},

B – {выбрана карта чёрной масти}.

Сформулировать, в чём состоят события , , . Являются ли и :

а) несовместными,

б) равновозможными?

Привести пример событий и таких, что и .

3.16. По каналу связи передают последовательно 5 сообщений. Каждое из них может быть передано правильно или искажённо. Пусть - { -ое сообщение передано правильно}, . Выразить через данные события следующие случайные события:

B – {хотя бы одно сообщение передано правильно},

C – {все сообщения искажены},

D – {переданы правильно только два последних сообщения},

E – {одно (ровно) сообщение передано неверно}.

3.17. Мишень состоит из 10 кругов, ограниченных окружностями с радиусами , причем . Событие - {стрелок попал в круг радиуса }, . Что означают события: , , ?

3.18. Пусть . Найти , , .

3.19. В ящике находятся 2 детали первого сорта и 8 деталей второго сорта. Наудачу, друг за другом, без возвращения берут 3 детали. Для данного эксперимента привести пример достоверного события, невозможного, несовместных событий и событий, одно из которых влечёт другое.

3.20. Являются ли события и несовместными? Как связаны события и , если ?

3.21. Пусть , , - произвольные случайные события. Для положим , , . Найти верхний и нижний пределы последовательности . При каких условиях эта последовательность имеет предел?

3.22. Пусть . Найти предел последовательности .

3.23. Пусть - множество всех действительных чисел. Найти предел последовательности .