17. Канонічний розподіл. Отримання розподілу.

Рассмотрим 2 системы, одна из которых большая (термостат), а другая маленькая. Главное свойство термостата – он обладает очень большой С, обладает большой энергией, и при отдаче или поглощении энергии Т не изменяется. Взаимодействие между системами предполагается очень малым и закл. в том, что с-мы обмениваются энергией. Задача – найти распределение вероятностей для маленькой системы.

Так как общая система известна, то к общ. системе можно применить микро каноническое решение.

Е_общ – общая энергия всей системы, Е – энергия малой системы. Ет Энергия термостата, к-наты системы; константы термостата.

, Т – температура термостата = константа

рас-ние Гиббса

Н – гамильтониан или мех. энергия системы.

Если некоторая микроскопическая система приведена в тепловое равновесие с термостатом, то ее р-е имеет вид

(обозначение)

18. Канонічний розподіл. Обґрунтування канонічного змісту величин, щ входять у розподіл.

Из распределения Гиббса можем получить среднее

Пусть есть ф-я , то

Константа С находится из условия формировки:

обычно пишут:

Распределение принимает вид:

Часто считают не все распределение Гиббса, а только ф-ю F

ω позволяет найти давление на стенки, энергию, флуктуации энергии (через дисперсию) и др.. Поскольку δ-функции нет, то аким распределениеем пользоваться удобнее чем МКР. Найдем сигнал ф-ции F

Если - объем системы, то

Возьмем производную по Т от условия нормировки

Свободная энергия системы:

-свободная энергия системы.

Остальные функции можно получить из этого потенциала.

19. Логіка стат. Обчислення, її застосування для обчислення тд. Властивостей ід. Газу.

План рассмотрения системы

Дано: 1) Т, а, V, N =const – условие выделения системы (дает право использования МКР) из внешней среды. Воспользуемся каноническим распределением:

–статическая температура; х–совокупность

6N канонических переменных; а–внешние параметры (V),

Н–функция Ганна (микроскопическая энергия).

2) Строим модель

3) Статистический интеграл (интеграл состояния)

Все трудности статической физики сводятся к расчету статистического интеграла (сложна потенциальная энергия взаимодействия).

4) Переходим к свободной энергии

Зная потенциал F, можем найти термическое уравнение состояния .Из термодинамики:

5)

где . (*)–это калориметрическое уравнение состояния (связь F и U), т. к. отрицательная зависимость U от а и Т.

20. Ентропія і флуктуація в канонічному рівнянні.

нет в конспекте

21. Розподіл Максвела-Больцмана. Розподіл Максвела за модулем. Розподіл Больцмана. Умови нормування.

Применим метод распределения Гиббса в какой-то реальной системе. Рассмотрим идеальный газ, погруженный в некоторое внешнее поле и находящийся в ограниченном объеме. Поскольку взаимодействия между частицами нет, то в гамильтониане нет энергии взаимодействия частиц. Гамильтониан системы:

Кинетическая потенциальная энергия

энергия частиц частиц в поле

может также учитывать вращение, колебание движения частиц, поляризацию…

Молекулы не отличаются

Можем рассмотреть поведение одной молекулы. Если хотим получить распределение по и для одной молекулы, то должны проинтегрировать по всем и кроме и :

можно найти из условия нормировки

(*)

Такое распределение называется распределением Максвелла-Больцмана. Пускай мы хотим найти распределение Максвелла: (для одной частицы)

(Распределение Максвелла позволяет например найти число ударений частиц о стенку сосуда, то есть давление)

Отсюда можем найти, например

Если (*) проинтегрируем по , то получим распределение Больцмана

Что бы распределение не было тривиальным, необходимо внешнее поле, от которого будет зависеть . Рассмотрим некоторый сосуд (потенциальную яму)

Другой пример: идеальный газ в гравитационном поле с постоянной Т.

С позволяет зафиксировать общее количество частиц в атмосфере или задать нулевое значение Р.

- количество частиц

Частицы могут быть более сложными:

Можем найти поляризацию .

Найдем для идеального газа точное значение стат. суммы (которая позволяет найти потенциал )

Массы частиц одинаковы, а следовательно все интегралы по одинаковы.

Свободная энергия:

(для идеального газа)

Найдем :

(поскольку можно считать, что )

удобно выражать через , а не через размеры сосуда, поскольку он может иметь сложную форму

- свободная энергия газа в ящике, полученная из распределения Гиббса. Получим из этого уравнения разложение термодинамической функции.