- •4. Проверка гипотезы по критерию х2.
- •5. Построение графика плотности и доверительных интервалов для параметров случайной величины.
- •Провести статистическую обработку результатов испытаний.
- •1. Построение гистограммы относительных частот.
- •4. Проверка гипотезы по критерию х2.
- •5. Построение графика плотности и доверительных интервалов для параметров m и .
4. Проверка гипотезы по критерию х2.
Продолжаем таблицу 2. В восьмой столбце, используя данные пятого столбца и найденное значение S,запишем . В девятом столбце поместим значения f (zi), найденные по таблице нормированной плотности
f(x)= .
В десятом столбце запишем
npi = f (zi).
Для этого заранее вычислим множитель
= = 47,62
Обращаем внимание на то, что в первом и девятом интервалах
npi= 3,067 < 5. Поэтому эти интервалы объединяем c соседними. Для объединенных интервалов полагаем равным соответственно 6+8=14 и 6+7=13, прi равным 3,067 + 6,833 = 9,9 (это значение записано после фигурной скобки в десятом столбце). После объединения крайних интервалов получилась новая группировка, содержащая 7 интервалов:
[13; 15), [15; 16), ... , [19; 20), [20;22).Значения для этих интервалов записываем в одиннадцатом столбце. Складывая эти значения и вычитая из суммы n = 100, получим значение = 7,5 (последняя строка в одиннадцатом столбце).
По таблице критических точек распределения х2 ([3],c. 465) находим (k) , где 0,05, а k = -3. В новой группировке , следовательно, k = 7 - 3 = 4. При этих значениях и k из таблицы находим (4) = 9,5. Сравнивая и (4), убеждаемся, что = 7,5 < 9,5 = (4). Следовательно, опытные данные не противоречат гипотезе о нормальном распределении исследуемой величины х с параметрами
m = 17,5 и s = 2,1.
5. Построение графика плотности и доверительных интервалов для параметров m и .
Так как гипотеза о нормальном распределении не отвергнута, сравним график плотности f(x)= с гистограммой относительных частот. Для этого на чертеже гистограмм приближенно построим график плотности, найдя значение f(x) в пяти точках х1= = 17,5;
х2,3 = S= 17,5 2,1; x4,5 = 2S = 17,5 4,2.
Имеем
f(x1)= f ( )=fmax= ;
f (x2,3)= f ( S)= ;
f (x4,5) = f( 2S) = .
Постоянные = 0,3989, = 0,6065 и = 0,1353 найдем заранее (они имеются во многих справочниках). Используя их, получим:
f(x1)= = =0,19;
f (x2,3)= f(x1) =0,19 0,6065 = 0,115;
f (x4,5)= f(x1) = 0,19 0,1353 = 0,026.
Нанеся точки ( xi; f (xi)) на координатную плоскость и помня о том, что x1 - точка максимума, а( x2; f (x2)) и ( x3; f (x3)) точки перегиба, соединим их плавной кривой. Получим приближенно график нормальной плотности с параметрами и S (рис. 2).
Из рисунка видно, что этот график хорошо согласуется с гистограммой.
Найдем, наконец, доверительные интервалы для и m=M (x) и = , для чего используем формулы (4) и (5). Задав надежность 0,95, по таблицам находим и q при n = 100 ([3], с.464). Имеем = 1,984. q= 0,143. Отсюда
= 1,984 2,1:10 0,42;
S (1 – q) = 2,1 (1 – 0,143) = 2,1 0,857 = 1,8;
S (1 + q) = 2,1 1,143 = 2,4.
Таким образом, доверительные интервалы имеют вид:
17,5 – 0,42 m 17,5 + 0,42, т.е. 17,08 m 17,02 и 1,8 2,4.
Сдано в РИО 21.08.87
Подп. в печать 21.08.87
Формат изд. 60 84 , 1/16, п.л. 0,8
Тираж 3000.Заказ 242.