20. Несиметричні двоїсті задачі.

У несиметричних задачах обмеження прямої задачі можуть бути записані як рівняння, а двоїстої — лише як нерівності. У цьому разі відповідні змінні двоїстої задачі набувають будь-якого значення, не обмеженого знаком.

21. Симетричні двоїсті задачі.

Двоїсті пари задач лінійного програмування бувають симетричні та несиметричні.

У симетричних задачах обмеження прямої та двоїстої задач є нерівностями, а змінні обох задач можуть набувати лише невід’ємних значень.

22. Двоїстий симплексний метод.

Двоїстий симплекс-метод (або метод послідовного уточнення оцінок) розв’язування задачі по своїй суті – це застосування звичайного симплекс-методу, доповнене побудовою на кожній ітерації -вимірного вектора, який є майже допустимим опорним розв’язком задачі (звідси походить назва методу). Двоїстий симплекс-метод полягає в такому послідовному переході від одного майже допустимого розв’язку до іншого, що через скінчене число переходів або одержимо оптимальний розв’язок задачі, або встановлення того, що задача не має допустимих розв’язків. Оптимальному розв’язку задачі х відповідає оптимальний розв’язок задачі у, причому оптимальні значення прямої і двоїстої задач співпадають.

Оптимальний розв’язок двоїстої задачі визначається за формулою , де базисна матриця оптимального опорного розв’язку задачі 1.0; індекси базисних векторів.

Для початку роботи алгоритму необхідно мати опорний розв’язок спряженої (двоїстої) задачі і його базис , на основі яких обчислюється початковий майже допустимий опорний розв’язок з невідємними оцінками за правилом:

спочатку знаходять коефіцієнти розкладу , вектора по базису ; далі складають вектор , -а компонента якого дорівнює , інші компоненти вектора дорівнюють нулю.

Алгоритм застосовують для виродженої і невиродженої задачі. Якщо при використанні алгоритму для розв’язування задачі у виродженому випадку виникає зациклення, то в алгоритмі необхідно застосовувати процедуру, що гарантує відсутність зациклення.

23. Транспортна задача.

Від трьох постачальників, розташованих у пунктах А1, А2, А3 до чотирьох замовників, розташованих у пунктах В1, В2, В3, В4, треба перевезти однорідний вантаж. Наявність вантажу по пунктах постачальників: А1= 50т, А2 = 40 т, А3 = 20т. Потреба у вантажі: В1 = 30т, В2 = 25т, В3 = 35т, В4 = 20т. Відстані між пунктами замовників та постачальників наведені у таблиці.

Метод розв’язування двохетапної транспортної задачі, розроблений Орденом-Маршем, полягає у врахуванні місткостей посередників двічі — як постачальників і як споживачів. Умови задачі подаються у вигляді таблиці, в рядках якої записують дані про постачальників, а також про посередницькі фірми, а в стовпцях — знову дані про посередників та споживачів. У клітинах, які розміщені на перетині рядків-постачальників та стовпців-споживачів, фіксують реальні затрати на перевезення одиниці продукції. В діагональних клітинах на перетині рядків і стовпців, які відповідають посередницьким фірмам, ставлять нульові величини затрат. Решту клітин таблиці блокують, тобто вартості перевезень прирівнюють до деякого досить великого числа М. У процесі розв’язування задачі в цих клітинах не будуть передбачатися перевезення продукції, що відповідає умовам двохетапної транспортної задачі.

24. Цілочислові задачі лінійного програмування.

Задача математичного програмування, змінні якої мають набувати цілих значень, називається задачею цілочислового програмування. У тому разі, коли цілочислових значень мають набувати не всі, а одна чи кілька змінних, задача називається частково цілочисловою.

До цілочислового програмування належать також ті задачі оптимізації, в яких змінні набувають лише двох значень: 0 або 1 (бульові, або бінарні змінні).

Умова цілочисловості є по суті нелінійною і може зустрічатися в задачах, що містять як лінійні, так і нелінійні функції. У даному розділі розглянемо задачі математичного програмування, в яких крім умови цілочисловості всі обмеження та цільова функція є лінійними, що мають назву цілочислових задач лінійного програмування.

25. Метод Гоморі

Этот метод относят к методам отсечения.

Алгоритм Гомори используется для решения полностью целочисленных задач линейного программирования. Алгоритм включает в себя:

Решение задачи одним из методов группы симплекс-методов или группы методов внутренней точки без учёта требования целочисленности. Если полученное оптимальное решение целочисленно, то задача решена.

Составляется дополнительное ограничение для переменной B[i], которая в оптимальном плане имеет максимальное дробное значение, хотя должна быть целой. Тогда величины коэффициентов элементов A[i,j], B[i] вычисляются так:

где — целая часть числа A[i,j]. Тогда дополнительное ограничение формируется следующим образом:

Оно будет целым неотрицательным при целых неотрицательных β[i,j] и ξ[j] После составления ограничения оно вводится в систему линейных ограничений и задача решается заново при исходных ограничениях и дополнительном ограничении. Если получено целочисленное решение, задача решена. В противном случае необходимо повторить второй этап.

Требование дополнительно предъявляемое к постановке задачи для метода Гомори: все компоненты плана должны быть целочисленными. Другими словами, даже к искусственным переменным предъявляется требование целочисленности.

26. Розв’язання задач методом Гоморі

Для розв’язування цілочислових задач лінійного програмування методом Гоморі застосовують такий алгоритм:

1. Симплексним методом розв’язується задача без вимог цілочисловості змінних.

Якщо серед елементів умовно-оптимального плану немає дробових чисел, то цей план є розв’язком задачі цілочислового програмування .

Якщо задача 1 не має розв’язку (цільова функція необмежена, або система обмежень несумісна), то задача 2 також не має розв’язку.

2. Коли в умовно-оптимальному плані є дробові значення, то вибирається змінна, яка має найбільшу дробову частину. На базі цієї змінної (елементів відповідного рядка останньої симплексної таблиці, в якому вона міститься) будується додаткове обмеження Гоморі:

3. Додаткове обмеження після зведення його до канонічного вигляду і введення базисного елемента приєднується до останньої симплексної таблиці, яка містить умовно-оптимальний план. Отриману розширену задачу розв’язують і перевіряють її розв’язок на цілочисловість. Якщо він не цілочисловий, то процедуру повторюють, повертаючись до п. 2. Так діють доти, доки не буде знайдено цілочислового розв’язку або доведено, що задача не має допустимих розв’язків на множині цілих чисел.