4.2 Классическое определение вероятности

Вероятность есть количественная характеристика появления некоторого события в произведенном испытании.

Введем несколько понятий.

Определение 6. Элементарные исходы, в которых наступает интересующее нас событие, называются благоприятствующими этому событию.

Таким образом, случайное событие можно рассматривать как подмножество элементарных исходов, благоприятствующих данному событию.

Пример 5. Пусть событие А состоит в том, что выпало четное число очков на брошенной игральной кости. В результате испытания возможны следующие элементарные исходы: − выпало одно очко, − выпало два очка, …, − выпало шесть очков.

Исходы, благоприятствующие событию − , , , т. е. событие .

Определение 7. Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу событий. Вероятность определяется формулой

,

(1)

где − число элементарных исходов, благоприятствующих событию − число всех возможных элементарных исходов испытания.

Пример 6. Вычислим вероятность события А из примера 5. Число всех элементарных исходов равно 6; число исходов, благоприятствующих событию А равно 3. Таким образом, вероятность того, что на брошенной кости выпадет четное число очков равно

.

Свойства вероятности:

Пример 7: В урне находится 12 белых и 8 черных шаров. Какова вероятность того, что наудачу вынутый шар будет белым?

Пусть А  событие, состоящее в том, что вынут белый шар. Ясно, что  число всех равновозможных исходов. Число исходов, благоприятствующих событию А, равно 12 ( ).

Подсчитывают эти исходы с помощью формул комбинаторики.

4.3 Основные формулы комбинаторики

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного множества и расположения их в группы по заданным правилам.

Правило умножения: если из некоторого конечного множества первый объект (элемент ) можно выбрать способами и после каждого такого выбора второй объект (элемент ) можно выбрать способами, то оба объекта ( и ) в указанном порядке можно выбрать способами. Распространяется на случай трех и более объектов.

Пример 8: Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5, если а) цифры не повторяются? б) цифры могут повторяться?

Решение: Имеется 5 различных способов выбора цифры для первого места в числе. После того, как первое место занято, например, цифрой 2, осталось четыре цифры для заполнения второго места. Для заполнения третьего места остается выбор из трех цифр. Согласно правилу умножения имеется 5*4*3=60 способов расстановки цифр. Если цифры могут повторяться, то трехзначных чисел 5*5*5=125.

Правило суммы: если некоторый объект можно выбрать способами, а объект можно выбрать , причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из указанных объектов ( или ), можно выбрать

Пример 9: В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать, для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола?

Решение: По правилу умножения двух девушек можно выбрать способами, а двух юношей – способами. Следует выбрать двух студентов одного пола: двух студенток или двух юношей. Согласно правилу сложения таких способов выбора будет 182+30=212.

Пусть имеется множество, состоящее из элементов. Существуют две схемы выбора элементов из исходного множества: без возвращения (без повторений) и с возвращением (с повторением).