Ранг, індекс, визначеність квадратичних форм

Існує багато базисів, в яких квадратична форма має канонічний вигляд. Виявляється, що всі канонічні вигляди квадратичної форми (з точністю до нумерації координат вектора) однакові .

Теорема 28.3. Ранг матриці квадратичної форми не залежить від базису.

◄ Згідно (28.4) в базисі матриці квадратичних форм пов’язані співвідношенням де матриця переходу Т не вироджена. Звідси

⁽¹⁾ ►

Якщо квадратична форма має канонічний вигляд, то ранг її матриці просто дорівнює кількості коефіцієнтів відмінних від нуля. Це число не залежить від базису.

Означення 28.8. Рангом квадратичної форми називається ранг її матриці.

В комплексному векторному просторі всі квадратичні форми одного і того ж рангу приводяться (кожна в своєму базисі) до одного і того ж канонічного вигляду

Тепер розглянемо квадратичні форми в дійсному векторному просторі.

Означення 28.9. Квадратична форма є додатна на підпросторі ' _n, якщо

^'

Зауваження 28.8. Окремо відмітимо, що будь-яка квадратична форма

Означення 28.10. Квадратична форма називається від’ємною визначеною на підпросторі ' _n, якщо ^'

Зауваження 28.9. Якщо ' _n, то про знакоозначені квадратичні форми просто говорять – додатньо означена, чи від’ємно означена, відповідно.

Означення 28.11. Квадратична форма називається додатньо напівозначеною, якщо

Означення 28.12. Квадратична форма називається від’ємно напівозначеною, якщо

Зауваження 28.10. Якщо то і, відповідно, то

Приклади 28.1. Нехай n=2. Тоді ,

а

Теорема 28.4. (Закон інерції квадратичної форми).

Кількість коефіцієнтів в канонічному вигляді квадратичної форми, які дорівнюють +1, -1, 0, відповідно, не залежить від способу приведення цієї квадратичної форми до канонічного вигляду.

◄ Нехай на _n квадратична форма рангу r має канонічний вигляд в базисі :

Треба довести, що p=q.

Нехай p>q. Переконаємось, що в цьому випадку існує вектор , такий що

(28.9)

В деякому третьому базисі співвідношення (28.9) можна розглядати як систему лінійних однорідних рівнянь відносно шуканого вектора . Так як p>q, то число однорідних рівнянь в (28.9) менше за r, і тому система (28.9) має не нульовий розв’язок відносно . Таким чином, якщо p>q, то існує ненульовий вектор , для якого виконуються співвідношення (28.9). Але

що можливо тільки у випадку, коли

. Останнє означає, що і, відповідно, Припущення, що p>q веде до протиріччя. Аналогічно перевіряється, що і припущення p<q веде до протиріччя. Тому p=q ►

Означення 28.13. Кількість коефіцієнтів в канонічному вигляді квадратичної форми, які дорівнюють +1, називається додатнім індексом інерції квадратичної форми.

Означення 28.14. Кількість коефіцієнтів в канонічному вигляді квадратичної форми, які дорівнюють –1, називається від’ємним індексом інерції квадратичної форми.

Означення 28.15. Різниця додатного і від’ємного індексів інерції називається сігнатурою квадратичної форми.

Виходячи з попередніх міркувань, очевидними стають наступні твердження (які ми доводити тут не будемо).

Твердження 28.3. Для того, щоб квадратична форма , задана на _n була дoдатньо визначена, необхідно і достатньо, щоб додатній індекс інерції дорівнював n.

Твердження 28.4. Для того, щоб квадратична форма , задана на _n, була від’ємна визначена необхідно і достатньо, щоб від’ємний індекс інерції дорівнював n.

Твердження 28.5. Для того, щоб квадратична форма , задана на _n була знакозмінною необхідно і достатньо, щоб були відмінні від нуля як додатній, так і від’ємний індекси інерції.

Твердження 28.6. Для того, щоб квадратична форма , задана на _n, була квазізнакововизначена необхідно і достатньо, щоб або від’ємний індекс інерції дорівнював нулю, а додатній індекс інерції був менший за n, або щоб додатній індекс інерції дорівнював нулю, а від’ємний індекс інерції був менший за n.

Питання про те як з’ясовувати знаковизначеність квадратичних форм не приводячи їх до канонічного вигляду, будуть розглянуті нижче.