§ 3 Квадратичні форми.
Означення 28.6 Квадратичною формою
називається функція
на векторному просторі n
(
n), значення
якої
n
визначається рівністю
,
де В - симетрична білінійна форма
на n.
Білінійну форму В, яка фігурує в означенні 28.6 будемо називати породжуючою квадратичну форму K.
По квадратичній формі K можна
однозначно поновити ту білінійну форму,
яка її породила. Дійсно,
n
.
Звідки
(28.5)
Зауваження 28.4 При отримані співвідношення (28.5) ми суттєво використали вимогу симетрії білінійної форми.
Зауваження 28.5 Матриця симетричної білінійної форми В, яка фігурує в означенні 28.6, називається матрицею відповідної квадратичної форми K.
Згідно (28.3) значення квадратичної форми K записується через координати вектора в деякому базисі в наступний спосіб
(28.6)
Права частина (28.6) - однорідний многочлен
другої степені відносно
.
Приведений його запис містить подібні
члени. А саме, при
члени
(без сумування по i,
j) і
(без сумування по i,
j) співпадають.
Тому (28.6) можна переписати у вигляді
(28.7)
Зауваження 28.6 Саме для того, щоб по многочлену (28.7) можна було б поновити матрицю квадратичної форми і накладається в означені 28.6 умова симетрії білінійної форми, яка породжує квадратичну.
Означення 28.7 Квадратична форма
називається діагональною, якщо її
матриця має діагональний вид
.
Тоді сама квадратична форма містить
тільки квадрати координат вектора
:
. (28.8)
Теорема 28.1 Для кожної квадратичної форми існує базис в якому вона має діагональний вигляд.
Доведення проведемо індукцією по розмірності простору n.
◄1) При n=1 в будь якому базисі квадратична форма має діагональний вигляд.
2) Припустимо, що теорема має місце в просторі розмірності n-1.
3) Розглянемо квадратичну форму в просторі розмірності n
В довільному базисі
.
Можливо, що всі
дорівнюють нулю, але в цьому випадку
квадратична форма вже має діагональний
вигляд. Тому, ми можемо обмежитись
випадком, коли хоча б один із коефіцієнтів
відмінний від нуля. Не зменшуючи
загальності, будемо вважати, що
.
Дійсно, якщо
,
але
при деякому
,
ми можемо поміняти нумерацію базисних
векторів, тобто зробити заміну базису.
Якщо
,
то у випадку необхідності змінюючи
нумерацію базисних векторів, ми можемо
вважати
.
Зробимо допоміжну заміну базису, таку
щоб
,
,
,
.
Такій заміні базису відповідає матриця
переходу
,
а її обернена матриця має вигляд
.
Після такої заміни базису в квадратичну
форму
ввійдуть члени
і
.
Таким чином, в разі потреби зробивши
заміну базису, можна завжди вважати, що
.
Зберемо разом члени, які містять
:
Інакше це можна переписати у вигляді
Квадратична форма
задана в просторі розмірності n-1
і згідно припущенню індукції існує
базис в просторі розмірності n-1
в якому квадратична форма
має діагональний вигляд
Позначимо елементи оберненої матриці
переходу до цього базису (в просторі
розмірності (n-1))
через
.
Покладемо
,
і отримаємо для квадратичної форми K
діагональний вигляд. Перехід до нового
базису здійснюється з допомогою матриці
переходу T, а заміна
координат векторів з допомогою матриці
,
де
(зірочками позначені елементи значення яких не важливе).►
Зауваження 28.7 Застосований при доведені теореми 28.1 спосіб приведення квадратичної форми до діагонального вигляду має назву метода виділення квадратів Лагранжа і може бути застосований для практичного приведення квадратичної форми до діагонального вигляду.
Означення 28.8 Діагональний вигляд
квадратичної форми в дійсному векторному
просторі називається канонічним
виглядом, якщо коефіцієнти
можуть приймати тільки значення +1, -1,
0. В комплексному векторному просторі
діагональний вигляд квадратичної форми
- канонічний, якщо
може дорівнювати тільки 1 або 0.
Теорема 28.2 Для кожної квадратичної форми існує базис, в якому вона має канонічний вигляд.
◄ Для початку приведемо квадратичну
форму до діагонального вигляду (теорема
28.1). Потім замінимо базис в такий спосіб,
щоб: координати векторів, яким відповідають
коефіцієнти квадратичної форми
,
залишались без змін (
),
а для інших координат
(без сумування по і ) в випадку
комплексного векторного простору і
(без сумування по і ) в випадку
дійсного векторного простору. ►