Лекція 28
Функції на векторних (лінійних) просторах.
Означення 28.1 Функція одного векторного
аргументу це : 
(
або ). (Якщо
- дійсний векторний простір, то обирається
множина , якщо
- комплексний векторний простір, то
обирається множина ).
Означення 28.2 Функція двох векторних
аргументів називається : 
(
або ).(1)
Зауваження 28.1 Функції на нескінченно вимірних векторних просторах прийнято називати функціоналами.
§ 1 Лінійні функції одного аргументу (лінійні форми).
Означення 28.3 Функція L одного векторного аргументу називається лінійною, якщо
1)
L(
)=L(
)
+ L(
)
(властивість адитивності),
2)
,
(
або ). L(
)=
L(
)
(властивість однорідності).
Іншими словами: лінійна функція одного аргументу це адитивна та однорідна скалярна функція векторного аргументу.
Зауваження 28.2 Лінійна функція це частинний випадок лінійного відображення. А саме - лінійне відображення даного векторного простору в одномірний арифметичний простір ( або ).
Розглянемо n - вимірний векторний простір
і виберемо в ньому базис
.
Тоді
n
,
де
-
координати вектора
в базисі
,
а L(
)=L(
)=L(
)
.
Позначимо L(
)=
,
-
матрицю-рядок з елементами
,
-
матрицю-стовпчик координат вектора
.
Остаточно маємо
L(
)=
(28.1)
Зауваження 28.3 Числа =L( ) не залежать від вектора , а визначаються тільки функцією L і базисними векторами .
Ми довели наступне
Твердження 28.1 Будь-яка лінійна функція на n в довільному базисі задається лінійним однорідним многочленом (28.1) від координат вектора по цьому базису.
Значення функції L( )= називаються компонентами або коефіцієнтами функції L в базисі .
Розглянемо два базиси
та
в просторі n.
Ці базиси пов’язані між собою
співвідношеннями ( )
(
- елементи матриці переходу Т від базису
до базису
).
Тоді
.
Або
. (28.2)
§ 2 Білінійні форми.
Означення 28.4 Білінійною формою або білінійною функцією на векторному просторі n називається функція В від двох векторів на n, яка задовольняє вимогам
1)
n
,
2)
n,
(
або )
,
3)
n
,
4)
n,
(
або )
.
Іншими словами: білінійна форма це скалярна функція двох векторних аргументів адитивна та однорідна по обом своїм аргументам.
Виберемо в просторі n
базис
.
Якщо
,
,
то значення білінійної форми В на
векторах
і
може бути обчислено наступним чином
.
Позначимо
-
значення білінійної форми на всеможливих
парах базисних векторів. Числа
-
називаються коефіцієнтами білінійної
форми в базисі
,
а матриця
-
матрицю білінійної форми в даному
базисі. Тоді остаточно
(28.3)
При заміні базису матриця білінійної форми змінюється. Отримаємо закон її зміни.
.
Або
і в матричному вигляді
. (28.4)
Означення 28.5 Білінійна форма
називається симетричною, якщо
n
.
Твердження 28.2 (Критерій симетрії білінійної форми). Для того щоб білінійна форма була симетрична необхідно і достатньо щоб вона в деякому базисі мала симетричну матрицю (тоді вона буде мати симетричну матрицю і в будь якому базисі).
Необхідність ◄ Нехай білінійна
форма симетрична
,
тоді
.
Або
►
Достатність ◄ Нехай в деякому базисі
матриця білінійної форми симетрична -
.
Тоді
n
.
Так як білінійна форма симетрична, то
вона буде мати симетричну матрицю і в
будь якому базисі. ►