6. Диф. Уравн 2 порядка, допускающие понижение порядка

Уравнения вида: ,(3)не содержащие переменной у, введением новой неизвестной приводится к уравнению первого порядка (4)Пусть -общее решение уравнения (4), тогда (5)-общее решение уравнения (3) Уравнения вида: ,(6)не содержащее переменной х. Полагая ; , получим -уравнение первого порядка. Пусть его общее решение: , тогда - уравнение с разделенными переменными;его общий интеграл - будет общим интегралом уравнения (6).

7. Лоду 2 порядка с постоянными коэф. Линейная зависимость ф-ии. Т. Об общем решении лоду. Характ. Урав.

Данные уравнения имеют вид: , (1). Определение Два решения уравнения (1) и называются линейно независимыми на отрезке ,если их отношение на данном отрезке не является постоянным, т.е. на Теорема ( Об общем решении ЛОДУ) Если и –два линейно независимых решения уравнения (1), то линейная комбинация ,(2)где и –произвольные постоянные, является его общим решением. Характеристическое уравнение Для нахождения общего решения (2) следует найти два линейно независимых частных решения. Будем искать их виде ( ); тогда , , подставим эти выражения в (1), получим , откуда следует: (3)-характеристическое уравнение, его корни: ; (4) Случаи решения характеристического уравнения:I. корни и –действительные и различные (D>0);II. корни = –равные действительные (D=0)III корни и –комплексные (D<0);

8. Выражение общего решения лоду в случае действ. Корней. Характ. Урав.

( )Частными решениями будут функции , Они линейно независимы, т.к. Следовательно, общее решение имеет вид:

II. Корни характеристического уравнения действительные и равные ( ) Это будет при D=0 , т.е. .В качестве первого частного решения возьмём . Покажем, что в этом случае в качестве второго линейно независимого решения можно взять . Подставим его в уравнение (1). Сначала найдём производные: ; Подставим в (1): , т.к. и Итак, в случае общее решение уравнения (1) имеет вид

9. Выражение об. Решения лоду в случае комплексн. Корней. Харак. Урав. Случай чисто мнимых корней

; , ( ).Частные решения: ; , или ; (2)Покажем, что если некоторая комплексная функция является решением уравнения (1), то каждая из действительных функций u(x) и v(x) тоже будет решением уравнения (1). для этого подставим его в уравнение (1): .Значит, в качестве частных решений уравнения (1) можно взять отдельно действительные и мнимые части решений (5): ; , В этом случае общее решение уравнения (1) можно представить в виде , (3) где и -произвольные постоянные. Важным частным случаем решения (3) является случай, когда в уравнении (1) p=0 и q>0 , т.е. уравнение (1) имеет вид , (q>0)При этом характеристическое уравнение (q>0) имеет чисто мнимые корни: и общее решение (6) приобретает вид

10. Лнду структура решений. Т.1 и т.2

Такие уравнения имеют вид: (1) Структура общего решения уравнения (1) определяется следующей теоремой: Теорема 1 (о структуре общего решения ЛНДУ) Общее решение неоднородного уравнения (1) представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения у_чн(х) и общего решения у_оо(х) соответствующего однородного уравнения: (2)

Теорема 2 Пусть неоднородное уравнение таково, что правая часть его есть сумма двух функций f₁(x) и f₂(x): (3) Если при этом функция у₁(х) является частным решением уравнения (4) а у₂(х) – частным решением уравнения (5) то функция у(х)= у₁(х)+ у₂(х) будет частным решением уравнения (3) Доказательство: Подставим у(х) в уравнение (3): = ч.т.д.