13Анализ устойчивости сау
Устойчивость – это свойство системы возвращаться в исходное состояние после вывода ее из этого состояния и прекращения действия возмущения. Состояние системы может быть устойчивым и нейтральным.
САР подвергаются различным воздействиям, отклоняющим регулируемый параметр заданного значения, то есть выводят систему из равновесия. Если система, выведенная из равновесия и предоставленная сама себе в течение некоторого времени возвращается в равновесие, то она устойчива, а если система не в состоянии восстановить равновесие, то она непригодна для использования. При исследовании устойчивости не имеет значение конкретный вид кривой переходного процесса. Время переходного процесса при этом не учитывается. Для решения вопроса об устойчивости необходимо рассмотреть решение дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс. В общем случае решение дифференциального уравнения имеет два слагаемых: вынужденную и свободную составляющую.
Вынужденная составляющая зависит от приложенного воздействия, свободная характеризует переходной процесс:
7.1Условия устойчивости
Чтобы система была устойчивой необходимо чтобы свободные колебания затухали. Свободные колебания описываются решением однородного уравнения.
Это решение представляет собой сумму экспонент:
При этом возможно несколько случаев:
корни могут быть действительными
корни могут быть комплексно сопряженными.
Рассмотрим первый случай:
Корни действительные и отрицательные:
Рисунок 15 L(t) при действительных отрицательных корнях
Если корни являются действительными отрицательными – система устойчива.
Корни действительные и положительные :
Рисунок 16 L(t) при действительных положительных корнях
Если корни действительные и положительные–система неустойчива, переходной процесс незатухающий.
Корни комплексно-сопряженные:
<0
Рисунок 17 L(t) при комплексно-сопряженных корнях, если <0
Если
<0,то
суммарный процесс затухающий.
>0
Рисунок 18 L(t) при комплексно-сопряженных корнях, если a>0
Если >0, – амплитуда возрастает.
Таким образом, система является устойчивой, если все действительные корни характеристического уравнения и все действительные части комплексно сопряжённых корней будут отрицательны. Изобразим корни характеристического уравнения устойчивой системы на комплексной плоскости (рисунок 19).
Рисунок 19 Корни характеристического уравнения устойчивой системы на комплексной плоскости
Таким образом, если система устойчива, то корни характеристического уравнения будут расположены в левой полуплоскости. Если хотя бы один корень справа, то система неустойчива. Решение характеристического уравнения связано с техническими трудностями, поэтому разработаны критерии, которые позволяют судить об устойчивости системы косвенным способом, не находя полного решения дифференциального уравнения. Для этого используется критерий двух видов:
1. алгебраический (критерий Гурвица);
частотный (критерий Михайлова).