Курс лекций “Численные методы”

Лекция 21

8.5 Численное интегрирование жестких систем

обыкновенных дифференциальных уравнений

1 Условно устойчивые и абсолютно устойчивые разностные методы

Для задачи Коши

, , (8.63)

будем рассматривать многошаговые разностные методы вида

,

, , (8.55)

, (8.56)

, . (8.64)

В предыдущей лекции показано, что устойчивость и сходимость метода определяется расположением корней характеристического уравнения

. (8.65)

А именно, требуется, чтобы все корни удовлетворяли условию , причем корни , для которых , не должны быть кратными.

Эти условия устойчивости являются очень общими и не могут учесть многие характерные свойства решений исходной дифференциальной задачи и аппроксимирующего ее разностного метода. Они означают лишь, что все решения однородного разностного уравнения, соответствующего (8.64), остаются ограниченными при .

В частности, при таком подходе коэффициенты , входящие в правую часть уравнения (8.64), никак не влияют на устойчивость.

Предположим, однако, что заранее известна та или иная характерная особенность в поведении решения исходной дифференциальной задачи. Тогда, естественно, требовать, чтобы эта особенность сохранялась и у решения разностного уравнения. Такое требование приведет к сужению класса допустимых разностных методов. Ниже будут рассмотрены методы, предназначенные для расчета асимптотически устойчивых разностных уравнений (8.63).

Рассмотрим сначала характерный пример. Уравнение

, , , (8.66)

где , имеет решение

,

монотонно убывающее при . При любых для решения этого уравнения справедливо неравенство

, (8.67)

означающее устойчивость решения .

Естественно требовать, чтобы и для решения разностной задачи, аппроксимирующей (8.66), выполнялось бы неравенство, аналогичное (8.67). Рассмотрим с этой точки зрения метод Эйлера

, . (8.68)

Из уравнения (8.68) получаем

, .

Оценка вида (8.67), т.е. неравенство

, (8.69)

для метода (8.68) будет выполнена тогда и только тогда, когда . В случае это условие эквивалентно следующему ограничению на шаг :

. (8.70)

Таким образом, разностный метод (8.68) устойчив в смысле выполнения оценки (8.69), если шаг удовлетворяет неравенству (8.70).

Разностный метод (8.64) называется абсолютно устойчивым, если он устойчив при любом , и условно устойчив, если он устойчив при некоторых ограничениях на шаг . Мы видели, что метод Эйлера (8.68) условно устойчив при выполнении условия (8.70). Примером абсолютно устойчивого метода для уравнения (8.66) является неявный метод Эйлера

,

для которого при любых .

Оказывается, и для более общих асимптотически устойчивых систем дифференциальных уравнений явные разностные методы являются условно устойчивыми, а среди неявных методов существуют абсолютно устойчивые методы.

Условная устойчивость является недостатком явного метода, так как вынуждает брать слишком мелкий шаг . Например, если , то условие (8.70) выполнено при , и для того, чтобы вычислить решение при , надо сделать сто шагов по методу Эйлера. Неявный метод лишен этого недостатка, однако его применение к задаче (8.63) приводит к необходимости решения на каждом шаге алгебраического уравнения, в общем случае нелинейного.