Шпаргалка по КСЕ

1. Законы Ньютона

1) мат.т. сохр.сост.покоя или равномерно прямолин.движения, пока возд.др.тела не выведет ее из этого сост.(т.е.силы действуют на т.сбалансированно)-инерциальные сист.отсчета сущ.

2) В ИСО(инерц сист отсчета), ускор кот получ матер т прямопропорц прилож силе и обратнопропорц массе

= где  — ускорение тела,  — сила, приложенная к телу, а m — масса тела

З-н динамики мат т-скорость измен импульса мат т равна силе

где  — импульс (количество движения) точки, t — время, а  — производная по времени

3) Тела действуют друг на друга с силами, направленными вдоль одной и той же прямой, равными по модулю и противоположными по направлению: .

2. Динамическая система

Реальным физическим системам, моделируемым математическим понятием «динамической системы», приписывается важное свойство детерминированности: зная состояние системы в начальный момент времени, мы можем однозначно предсказать все ее дальнейшее поведение.

Для задания динамической системы необходимо описать её фазовое пространство X, множество моментов времени T и некоторое правило, описывающее движение точек фазового пространства со временем.

3. фазовое пространство

Фазовое пространство в математике и физике представляет множество всех состояний системы в фиксированный момент времени. Каждому возможному состоянию системы соответствует точка фазового пространства.

Например, фазовое пространство для системы, состоящей из одной свободной материальной точки, имеет 6 измерений, три из которых — это три обычные координаты, а ещё три — это компоненты импульса. Соответственно, фазовое пространство для системы из двух свободных материальных точек будет содержать 12 измерений и т. д.

4.Фазавые потоки

Пусть фазовое пространство X представляет собой многомерное пространство или область в нем, а время непрерывно. Допустим, что нам известно, с какой скоростью движется каждая точка x фазового пространства. Иными словами, известна вектор-функция скорости v(x). Тогда траектория точки будет решением автономного дифференциального уравнения с начальным условием x(0) = x0. Заданная таким образом динамическая система называется фазовым потоком для автономного дифференциального уравнения.

5.Причинность

генетическая связь между отдельными состояниями видов и форм материи в процессах её движения и развития.

причинность определяется как один из основных видов связи, а именно генетическая связь явлений, в которой одно (причина) при определенных условиях порождает другое (следствие). С другой стороны, уже с точки зрения принципа развития причинность определяется следующим образом: всякое изменение и тем более развитие, то есть изменение в сторону появления нового качества, имеет свою причину и следствие.

6.Прич-след связи

П С,

где П — причина , С — следствие.

В схеме показано, что причинно-следственная связь направлена от причины к порожденному ею следствию. Значит, причина и следствие — асимметричны, и отношение между ними необратимо. Имеется в виду, что причины вызывают не любые, а определенные, соответствующие им следствия. Скажем, из косточки винограда вырастает виноградная лоза, из семени чертополоха — чертополох.

Широко распространен тип причинно-следственных связей, вызывающих так называемый «эффект домино», когда воздействие одной причины вызывает целую цепочку следствий, подобно тому как падение одной кости домино в длинном ряду вызывает последовательное падение всех поставленных друг за другом костей.

П --------С1 --------- С2 ---------С3 ---------С4 -----------Сn

Принцип причинности является одним из фундаментальных физических законов.

В классической физике это утверждение означает, что любое событие A(t), произошедшее в момент времени t, может повлиять на событие B(t’), произошедшее в момент времени t’, только при условии: t’-t>0.

Если наступление события X увеличивает вероятность наступления события Y, то между ними существует причинно-следственная (причинная, каузальная) связь.

Обыденное значение Наступление события X- единственная причина наступления события Y Наступление событиях всегда приводит к наступлению события Y (между ними существует детерминированная зависимость) Можно доказать, что наступление события X- - причина наступления события Y

Научное значение Наступление события X- одна из возможных причин наступления события Y Наступление события X увеличивает вероятность наступления события У(между ними существует вероятностная зависимость) Нельзя доказать, что наступление события X- причина наступления события Y. В лучшем случае можно сделать такое предположение.

1.Законы сохранения

Законы сохранения позволяют рассмотреть общие свойства движения без решения уравнений движения и подробной информации о развитии процессов во времени.

В механике имеют значение три закона сохранения: закон сохранения энергии, закон сохранения импульса, закон сохранения момента импульса

2. Закон сохр момента им

Момент импульса матеpиальной точки относительно некотоpой оси опpеделяется аналогично моменту силы относительно оси. Импульс точки надо спpоектиpовать на плоскость, перпендикуляpную к оси, а затем найти плечо полученной пpоекции, т.е. pасстояние от линии действия найденной пpоекции до оси.

        Моментом импульса точки относительно оси называется произведение пpоекции импульса на плоскость, пеpпендикуляpную к оси, на плечо этой пpоекции (pис. 3.6): Если точка движется по окpужности вокpуг заданной оси, то момент импульса и опpеделяется выpажением L=mvr,где v - модуль скоpости, r - pадиус окpужности.

момент импульса твеpдого тела относительно оси вpащения pавен пpоизведению момента инеpции тела относительно оси вpащения на его угловую скоpость.

3. Закон сохр энергии

основной закон природы, заключающийся в том, что энергия замкнутой системы сохраняется во времени. Другими словами, энергия не может возникнуть из ничего и не может в никуда исчезнуть, она может только переходить из одной формы в другую.

в классической механике закон проявляется в сохранении механической энергии (суммы потенциальной и кинетической энергий). В термодинамике закон сохранения энергии называется первым началом термодинамики и говорит о сохранении энергии в сумме с тепловой энергией.

E=const

4.З сохр импульса

Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения) утверждает, что сумма импульсов всех тел (или частиц) замкнутой системы есть величина постоянная.

∑mivi=const

5.Законы Кеплера

1)Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсy, в одном из фокусов которого находится Солнце. Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением , где c — расстояние от центра эллипса до его фокуса

2) Радиус-вектор планеты описывает в равные промежутки времени равные площади.

3) Третий закон утверждает, что если R = a, то периоды обращения тел по этим орбитам одинаковы.

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет.

, где T₁ и T₂ — периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а a₁ и a₂ — длины больших полуосей их орбит.

Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты: , где M – масса Солнца, а m₁ и m₂ – массы планет.

1. Принцип наим действия

Наиболее общая формулировка законов движения механических систем дается так называемым принципом наименьшего действия или принципом Гамильтона. Согласно этому принципу, каждая механическая система с S степенями свободы характеризуется некоторой функцией

где— обобщенные координаты; а—

обобщенные скорости системыпричем движение

системы удовлетворяет следующему условию.

Принцип наименьшего действия в классической механике

Напомним вначале, на примере физической системы с одной степенью свободы, что действие, о котором тут идёт речь, это функционал, то есть правило, которое каждой функции q(t) сопоставляет некоторое число. Действие имеет вид: , где есть лагранжиан системы, зависящий от обобщённой координаты q, её первой производной по времени , а также, возможно, и явным образом от времени t. Если система имеет большее число степеней свободы n, то лагранжиан зависит от большего числа обобщённых координат и их первых производных по времени. Таким образом, действие является функционалом, зависящим от траектории тела.

2. Ф-я Лагранжа

3. Уравнение Эйлера

(a_n-1, a_n-2, ..., a₀ - постоянные) заменой независимой переменной x = e^t сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами вида

уравнение Эйлера для движения идеальной жидкости в поле тяжести:

где  — плотность жидкости,  — давление в жидкости,  — вектор скорости жидкости,  — вектор напряжённости силового поля,  — оператор набла для трёхмерного декартового пространства.

4. Гамильтониан и урав-е Гамильтона

Функция Гамильтона - характеристическая функция механической системы, выраженная через канонические переменные: обобщенные координаты и обобщенные импульсы . Для системы со связями, явно не зависящими от времени , движущейся в стационарном потенциальном силовом поле, функция Гамильтона , где П - потенциальная, а Т - кинетическая энергия системы, в выражении которой произведена замена всех обобщенных скоростей на с помощью равенств . Таким образом, функция Гамильтона равна в этом случае полной механической энергии системы, выраженной через и . В общем случае функция Гамильтона может быть определена через функцию Лагранжа равенством в котором все должны быть выражены также через .

. Гамильтониан представляет в наиболее простых случаях энергию физической системы, которая есть сумма кинетической и потенциальной энергий, традиционно обозначаемых и соответственно:

Уравнение Гамильтона

Уравнения Гамильтона (канонические) в физике и математике — система дифференциальных уравнений:

всего 2N дифференциальных уравнений первого порядка (j = 1, 2, ..., N) для динамической системы, описываемой N (обобщенными) координатами, являющиеся уравнениями движения системы (одной из форм таких уравнений, наравне с уравнениями Лагранжа, являющейся обобщением ньютоновских уравнений движения), где H - так называемая функция Гамильтона, также иногда именуемая гамильтонианом, а точкой над p и q - обозначена производная по времени.

1.Линейная система

Линейная система — система, для которой воздействие и отклик связаны системой линейных дифференциальных уравнений. В простейшем случае, когда отклик описывается единственной функцией, для описания достаточно одного дифференциального уравнения.

2.Ф-я Дирака

δ-функция (или Дельта-функция, δ-функция Дирака, дираковская дельта, Единичная импульсная функция) позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке.

Например, плотность точечной массы 1, находящейся в точке a евклидова пространства , записывается с помощью δ-функции в виде δ(x − a). Также применима для описания распределений заряда, массы и т. п. на поверхностях или линиях.

δ-функция с областью определения определяется формальным соотношением

для любой непрерывной функции .

В частности, для одномерной дельта-функции (то есть дельта-функции с областью определения )

.

Интегральное представление

Во многих приложениях оказывается удобным интегральное представление дельта-функции:

Производная дельта-функции

Фундаментальное выражение, описывающее производную дельта-функции δ(x):

(распространение на случай подынтегральных выражений, содержащих дельта-функцию, интегрирования по частям).

Аналогично для n-ой производной дельта-функции:

3.Ф-ия Грина

Функция Грина линейного оператора L, действующего на обобщённые функции над многообразием (в частности, над евклидовым пространством, в том числе над числовой прямой), определяется для точки x₀ как решение уравнения

,где δ — дельта-функция Дирака, а x₀ предполагается не входящим больше никуда, кроме разности в аргументе дельта-функции.

.Действительно, подействовав оператором на эту сумму, мы получим дельта-функцию (в силу соотношения полноты).

(Чертой сверху обозначено комплексное сопряжение, если - вещественные функции, его можно не делать).

4.Принцип суперпозиции

Принцип суперпозиции — один из самых общих законов во многих разделах физики. В самой простой формулировке принцип суперпозиции гласит:

• результат воздействия на частицу нескольких внешних сил есть просто сумма результатов воздействия каждой из сил.

Наиболее известен принцип суперпозиции в электростатике, в которой он утверждает, что электростатический потенциал, создаваемый в данной точке системой зарядов, есть сумма потенциалов отдельных зарядов.

Принцип суперпозиции может принимать и иные формулировки, которые, подчеркнём, полностью эквивалентны приведённой выше:

• Взаимодействие между двумя частицами не изменяется при внесении третьей частицы, также взаимодействующей с первыми двумя;

• Энергия взаимодействия всех частиц в многочастичной системе есть просто сумма энергий парных взаимодействий между всеми возможными парами частиц. В системе нет многочастичных взаимодействий.

• Уравнения, описывающие поведение многочастичной системы, являются линейными по количеству частиц.

     Если y_k(x) - решение линейного уравнения

     то - решение уравнения

1.Модель «хищник-жертва»

Модель взаимодействия "хищник-жертва" независимо предложили в 1925-1927 гг. Лотка и Вольтерра. Два дифференциальных уравнения моделируют временную динамику численности двух биологических популяций жертвы y₀ и хищника y₁. Предполагается, что жертвы размножаются с постоянной скоростью C, а их численность убывает вследствие поедания хищниками. Хищники же размножаются со скоростью, пропорциональной количеству пищи (с коэффициентом r) и умирают естественным образом (смертность определяется константой D).  Модель замечательна тем, что в такой системе наблюдаются циклическое увеличение и уменьшение численности и хищника (рис.1), и жертвы, так часто наблюдаемое в природе. Фазовый портрет системы представляет собой концентрические замкнутые кривые, окружающие одну стационарную точку, называемую центром.

Модель "хищник-жертва" в частных производных

x(r,t)    -     плотность жертвы;

y(r,t)    -     плотность хищника;

e    -     коэффициент переработки биомассы жертвы;

b    -     коэффициент выедания;

с    -     коэффициент смертности хищников;

k    -     емкость среды;

R(x)    -     коэффициент роста жертвы;

L    -     нижняя критическая численность.

емкость среды ограничена величиной К, и безграничный рост жертвы в отсутствие хищника невозможен;

существует нижняя критическая численность - жертвы L, и если число особей падает по каким-либо причинам ниже L, популяция вымирает.

2.Модели динамики популяций

1. J-образная кривая.

При неограниченных ресурсах и идеальных природных условиях виды реализуют максимальную рождаемость. Такой рост популяции начинается медленно и затем стремительно нарастает по экспоненте, то есть кривая роста популяции принимает J-образный вид.

dN/dt = rN

r – выраженная скорость роста численности популяции, связана с максимальной скоростью размножения; чем выше скорость размножения, тем выше r.

r > 0, N ↑ экспоненциально (бум и крах популяции)

r < 0, N ↓ экспоненциально (бум и крах популяции)

размеры не стабилизируются

2. S-образная кривая.

При ограниченных ресурсах размеры популяции того или иного вида также ограничены, и смертность начинает расти, когда численность популяции достигает или временно превышает емкость экосистемы. Когда это случается, J­-образная кривая роста популяции начинает плавно изгибаться и принимает вид S-образной кривой.

dN/dt = rN · (K – N)/K

K – максимальное число организмов, которое может поддерживаться в данных условиях среды (емкость экосистемы); отражает влияние среды на снижение роста.

N > K, скорость роста отрицательна

N < K, скорость роста положительна

N = K, скорость роста равна нулю – стабилизация популяции.

КАРАСИ И ЩУКИ

Пусть два биологических вида совместно обитают в изолированной среде. Среда стационарна и обеспечивает в неограниченном количестве всем необходимым для жизни один из видов, который будем называть жертвой. Другой вид - хищник также находится в стационарных условиях, но питается лишь особями первого вида. Это могут быть караси и щуки, зайцы и волки, мыши и лисы, микробы и антитела и т. д. Будем для определенности называть их карасями и щуками. Итак, караси и щуки живут в некотором изолированном пруду. Среда предоставляет карасям питание в неограниченном количестве, а щуки питаются лишь карасями. Обозначим

у - число щук, х - число карасей.

Со временем число карасей и щук меняется, но так как рыбы в пруду много, то не будем различать 1020 карасей или 1021 и поэтому будем считать х и у непрерывными функциями времени t. Будем называть пару чисел (х, у) состоянием модели. Попробуем из самых простых соображений найти, как меняется состояние (х, у). Рассмотрим dx/dt - скорость изменения численности карасей. Если щук нет, то число карасей увеличивается и тем быстрее, чем больше карасей. Будем считать, что эта зависимость линейная : dx/dt ~ a1 x, причем коэффициент a1 зависит только от условий жизни карасей, их естественной смертности и рождаемости. Скорость изменения dy/dt числа щук (если нет карасей), зависит от числа щук y. Будем считать, что dy/dt ~ -a2 y . Если карасей нет, то число щук уменьшается (у них нет пищи) и они вымирают. В экосистеме скорость изменения численности каждого вида также будем считать пропорциональной его численности, но только с коэффициентом, который зависит от численности особей другого вида. Так, для карасей этот коэффициент уменьшается с увеличением числа щук, а для щук увеличивается с увеличением числа карасей. Будем считать эту зависимость также линейной. Тогда получим систему из двух дифференциальных уравнений: dx/dt = a1 x - b1 yx dy/dt = - a2 y + b2 yx Эта система уравнений и называется моделью Вольтерра-Лотки. Числовые коэффициенты a1, a2, b1, b2 - называются параметрами модели. Очевидно, что характер изменения состояния (x, y) определяется значениями параметров. Изменяя эти параметры и решая систему уравнений модели, можно исследовать закономерности изменения состояния экологической системы.

1.Дискретно-уровневые динамические системы

Современные технологии, такие как компьютеры, производственные процессы, информационные сети, системы самонаведения ракет и т.д. вынудили нас разработать событийно управляемые (или управляемые информацией) динамические системы состояние которых измененяется только при протекании заданного события. Потребность в изучении систем, состояния которых определены логическими, символическими или численными характеристиками, изменяющимися только при совершении какого либо события постоянно растет. Мы называем такие системы - дискретно-уровневыми динамическими системами.

2. модель Фейгенбаума – это треугольник, с разделенными боковыми сторонами на пять частей горизонтальными линиями, а каждая часть, в свою очередь, подразделяется вертикальными линиями, что образует в общей сложности во всех пяти частях 17 функций (участков), в основу которых практически положен только контроль качества продукции;

3. Бифуркации в динамических системах

Критическое сочетание параметров, при которых фазовый портрет системы качественно меняется, называется в теории динамических систем точкой бифуркации.

Поясним понятие бифуркации на примере динамической системы Лоренца, зависящей от параметра r и нескольких дополнительных параметров. Наиболее интересное ее решение в виде странного аттрактора появляется только при некоторых сочетаниях параметров, в частности, при r~1. При r~10 аттрактором системы Лоренца является фокус. Перестройка типа фазового портрета происходит в области промежуточных r, когда фокус теряет устойчивость, а вместо него появляется странный аттрактор. Заметим, что физический смысл бифуркации в модели Лоренца, согласно современным представлениям, описывает переход ламинарного движения жидкости к турбулентному сост.