Шпаргалка по КСЕ

формулы

- определение производной функции (скалярного поля) и(М) в точке М по направлению .

- определение градиента скалярного поля

- связь между градиентом скалярного поля и(М) и производной по направлению .

- определение дивергенции векторного поля .

- определение ротора векторного поля .

- определение оператора “набла” или оператора Гамильтона.

- выражение градиента скалярного поля и через оператор Гамильтона.

- выражение дивергенции векторного поля через оператор Гамильтона.

- выражение ротора векторного поля через оператор Гамильтона.

- инвариантное определение дивергенции векторного поля .

- циркуляция векторного поля вдоль кривой L в направлении, определяемом касательным вектором .

- формула Стокса в векторной форме.

- формула вычисления потенциала потенциального поля в поверхностно односвязной области.

- инвариантное определение проекции на вектор ротора векторного поля .

Дивергенция в ортогональных криволинейных координатах

, где H_i — коэффициенты Ламе.

Коэффициенты Ламе:

.Отсюда:

Сферические координаты

Коэффициенты Ламе:

.Отсюда:

Параболические координаты

Коэффициенты Ламе:

.Отсюда:

Эллиптические координаты

Коэффициенты Ламе:

.Отсюда:

1.Потенциальное векторное поле

Потенциальное (или безвихревое) векторное поле в математике — векторное поле, которое можно представить как градиент некоторой скалярной функции координат (потенциала). Необходимым и достаточным условием потенциальности векторного поля в трёхмерном пространстве является равенство нулю ротора поля.

2.Скалярное поле

Скалярное поле на области () представляет собой произвольную функцию , определенную на .

Поверхности уровня скалярного поля – это множества решений уравнения при заданных значениях C.

Пример. На географической карте линии уровня (двумерный аналог поверхности уровня) показывают точки, лежащие на одной высоте. Аналогичные примеры – изотермы, изобары и т.д.

3.Векторное поле

Векторное поле на области (или ) – это вектор, координаты которого являются функциями, определенными на .

Примеры представляют собой силовое поле, поле скоростей и т.п.

4.Градиенд скалярного поля

Градиент скалярного поля в циллиндрических координатах

Градиент скалярного поля в сферических координатах

Производная скалярного поля и по направлению

если имеет направление

grad u.

свойства градиента.

(- дифференцируемая функция)

1.Дивиргенция

Дивергенция (от лат. divergere — обнаруживать расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть операция дифференцирования, в результате применения которой к векторному полю получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле» (точнее — насколько расходятся входящий и исходящий поток). дивергенция — это дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность малой окрестности каждой внутренней точки области определения поля.

Определение дивергенции выглядит так:

где Ф_F — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объем V.

в трёхмерном декартовом пространстве дивергенция будет определяться выражением

Пусть векторное поле задано в выбранной системе координат как . Назовем дивергенцией скалярное поле (при условии, что эти частные производные существуют).

Легко доказать, что:

.

Свойства

Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.

• Линейность: для любых векторных полей F и G и для всех действительных чисел a и b

• Если φ — скалярное поле, а F — векторное, тогда:

или

• Свойство, связывающее векторные поля F и G, заданные в трёхмерном пространстве, с ротором:

или

• Дивергенция от градиента есть лапласиан:

• Дивергенция от ротора:

2. Теорема Гаусса утверждает:

Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε₀.

Теорема Гаусса — основная теорема электродинамики, которая применяется для вычисления электрических полей. Она выражает связь между потоком напряжённости электрического поля сквозь замкнутую поверхность и зарядом в объёме, ограниченной этой поверхностью.

Теорема Гаусса для напряжённости электрического поля в вакууме (электростатическая теорема Гаусса)

Общая формулировка: Поток вектора напряжённости электрического поля через любую, произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду.

В системе СГСЭ:

.

В системе СИ:

,где

• — поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность S.

• Q — полный заряд, содержащийся в объеме, который ограничивает поверхность S.

• — электрическая постоянная.

Данное выражение представляет собой теорему Гаусса в интегральной форме.

В дифференциальной форме теорема Гаусса соответствует одному из уравнений Максвелла и выражается следующим образом

в системе СИ:

,

в системе СГСЭ:

.

Здесь ρ — объёмная плотность заряда (в случае присутствия среды — суммарная плотность свободных и связанных зарядов), а  — оператор набла.

3.Уравнение Пуассона для потенциала

Уравнение Пуассона является одним из краеугольных камней электростатики. Нахождение φ для данного f — важная практическая задача, поскольку это обычный путь для нахождения электростатического потенциала для данного распределения заряда. В единицах системы СИ:

где — электростатический потенциал (в вольтах), — объёмная плотность заряда (в кулонах на кубический метр), а — диэлектрическая проницаемость вакуума (в фарадах на метр).

В единицах системы СГС:

В области пространства, где нет непарной плотности заряда, имеем:

и уравнение для потенциала превращается в уравнение Лапласа:

1.Циркуляция векторного поля

Циркуля́цией ве́кторного по́ля называется криволинейный интеграл второго рода, взятый по произвольному замкнутому контуру Γ. По определению

где  — векторное поле (или вектор-функция), определенное в некоторой области D, содержащей в себе контур Γ,  — бесконечно малое приращение радиус-вектора вдоль контура. Окружность на символе интеграла подчёркивает тот факт, что интегрирование производится по замкнутому контуру.

Формула Стокса

Циркуляция вектора F по произвольному контуру Г равна потоку вектора через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром.

где

 — Ротор (вихрь) вектора F.

В случае, если контур плоский, например лежит в плоскости OXY, справедлива формула Грина

где  — плоскость, ограничиваемая контуром (внутренность контура).

2.Ротор

Ро́тор, или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Показывает, насколько и в каком направлении закручено поле в каждой точке. Ротор поля F обозначается символом rot F (в русскоязычной литературе) или curl F (в англоязычной литературе), а также где — векторный дифференциальный оператор набла.

Математическое определение

Ротор векторного поля — вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру L плоской площадки ΔS, перпендикулярной к этому направлению, к величине этой площадки, когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:

.В трёхмерной декартовой системе координат вычисляется следующим образом:

Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.

• Линейность:

для любых векторных полей F и G и для всех действительных чисел a и b.

• Если — скалярное поле, а F — векторное, тогда:

или

• Дивергенция ротора равна нулю:

или

При этом верно и обратное: если поле F бездивергентно, оно есть поле вихря некоторого поля G:

• Если поле F потенциально, его ротор равен нулю (поле F — безвихревое):

Верно и обратное: если поле безвихревое, то оно потенциально:

для некоторого скалярного поля

Уравнения Максвелла

Первое уравнение Максвелла является обобщением закона полного тока и в дифференциальной форме записывается как

Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле 

.    Интегрформа

Второе уравнение Максвелла является обобщением закона индукции Фарадея и в дифференциальной форме записывается так

Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле

 .    ИнтФорма

•  — плотность стороннего электрического заряда (в единицах СИ — Кл/м³)

•  — плотность электрического тока (плотность тока проводимости) (в единицах СИ — А/м²)

•  — напряжённость электрического поля (в единицах СИ — В/м)

•  — напряжённость магнитного поля (в единицах СИ — А/м)

•  — электрическая индукция (в единицах СИ — Кл/м²)

•  — магнитная индукция (в единицах СИ — Тл = Вб/м²= кг·с^-2·А^-1)

•  — сторонний электрический заряд, заключенный внутри поверхности (в единицах СИ — Кл)

•  — электрический ток, проходящий через поверхность вызванный движением свободных зарядов (в единицах СИ — А)

•  — дифференциальный оператор ротора

•  — дифференциальный оператор дивергенции

•  — замкнутая двумерная поверхность

•  — граница поверхности

Помимо уравнений Максвелла в дифференциальной форме, в ряде случаев удобно использовать уравнения Максвелла в интегральной форме