6. Главные моменты инерции. Главные оси инерции
Формулы (31.5), (32.5) и (34.5) позволяют установить, как изменяются величины моментов инерции сечения при повороте осей на произвольной угол а. Для некоторых значений угла а величины осевых моментов инерции достигают максимума и минимума. Экстремальные (максимальные и минимальные).-значения осевых моментов инерции сечения называются главными, моментами инерции. Оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, называются главными осями инерции. Из формулы (33.5) следует, что если осевой момент инерции относительно, некоторой оси является максимальным (т. е. эта ось главная), то осевой момент инерции относительно перпендикулярной к ней оси является минимальным (т. е. эта ось также главная), так как сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей не зависит от угла а. Таким образом, главные оси инерции взаимно перпендикулярны.
Для нахождения главных моментов инерции и положения главных осей инерции определим первую производную по углу а от момента инерции Jz1 [см. формулу (31.5) и рис. 19.5:
Приравниваем этот результат к нулю:
где а0 — угол, на который надо повернуть координатные оси у и z, чтобы они совпали с главными осями.
Сравнивая выражения (35.5) и (34.5), устанавливаем, что
Следовательно, относительно главных осей инерции центробежный момент инерции равен нулю. Поэтому главными осями инерции можно называть оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю.
Как уже известно, центробежный момент инерции сечения относительно осей, из которых одна или обе совпадают с осями симметрии, равен нулю. Следовательно, взаимно перпендикулярные оси, из которых одна или обе совпадают с осями симметрии сечения, всегда являются главными осями инерции. Это правило позволяет во многих случаях непосредственно (без расчета) устанавливать положение главных осей.
Решим уравнение (35.5) относительно угла а:
Уравнению (36.5) в каждом конкретном случае удовлетворяет ряд значений а0. Из них выбирается одно любое. Если оно положительно, то для определения по нему положения одной из главных осей инерции ось z следует повернуть на угол а0 против хода часовой стрелки, а если отрицательное — то по ходу часовой стрелки; другая главная ось инерции перпендикулярна к первой. Одна из главных осей инерции является осью максимум (относительно нее осевой момент инерции сечения максимален), а другая - осью минимум (относительно нее осевой момент инерции сечения минимален). Ось максимума всегда составляет меньший угол с той из осей (у или z), относительно которой осевой момент инерции имеет большее значение. Это обстоятельство позволяет легко устанавливать, какая из главных осей инерции является осью максимум, какая — осью минимум.
При решении конкретной числовой задачи для определения главных моментов инерции Jшах и Jmin можно выбранное значение угла f0 и значение a0 = а0+90° подставить в формулу (31.5) или (32.5). Решим эту задачу в общем виде. По формулам из тригонометрии, используя выражение (36.5), найдем
Подставив эти выражения в формулу (31.5), после простых преобразований получим
Главные оси инерции можно провести через любую точку, взятую в плоскости сечения. Однако практическое значение для расчетов элементов конструкций имеют лишь главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, т. е. главные центральные оси инерции. Моменты инерции относительно этих осей (главные центральные моменты инерции) в дальнейшем будем обозначать Jmin, Jmax