5 5 .Матрицы, операции над матрицами, обратная матрица.

Матрица - прямоугольная таблица, составленная из чисел. Если матрица содержит m строк и n столбцов, то она имеет размер m*n.

Если число строк матрицы равно числу ее столбцов,то матрица наз.квадратной (размера n*n,т.е.квадратная матрица порядка n).

Две матрицы наз. равными, если они имеют одинаковый размер и на одинаковых местах в них стоят одни и те же элементы.

Нуль-матрицей наз. матрица, у которой все элементы равны нулю (обозн. 0).

А = (аίj) – матрица, имеющая элемент, стоящий на пересечении ί–ой строки и j–го столбца.

Операции:

1) Сложение двух матриц

Суммой двух матриц одного размера наз. матрица того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих (т.е. стоящих на одинаковых местах) элементов этих матриц. Для матриц разных размеров сумма не определена.

Свойства:

Пусть A, B, C и 0 имеют одинаковый размер.

1). A + B = B + A - коммутативность

2). A +( B+ C) = (A + B )+ C –ассоциативность;

3). A + 0 = A; 4). A + (-A) = 0; А – В = А + (-В)

2) Умножением матрицы на число

Произведением матрицы А на число t наз. матрица того же размера, что и А, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число t.

Свойства:

Пусть A, B, имеют одинаковый размер, t-действ. число

1). t(A + B) = tA + tB –дистрибутивность

2). (t +s)A = tA + sA

3). t(sA) = (ts)A;

4). 1*A = A; 5). (A + B) = A + B;

6). (tA) = tA; 7). Если А – квадратная матрица порядка n, то |tA| = tⁿ|A|

3) Умножение двух матриц

Произведение матриц существует т. и т. т., к. число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго, т.е. матрица А имеет размер k*n, а матрица B – размер n*m.

Произведением матриц А и B наз. матрица С = (сίj) размера k*m:

сίj = ∑aίs*bsj = aί1*b1j + aί2*b2j + …. + aίn*bnj, где сίj – сумма произведений элементов ί-ой строки первого сомножителя на соответствующие элементы j-го столбца второго сомножителя.

Свойства:

Пусть все произведения и суммы определены

1) A(BC) = (AB)C –ассоциативность

2). A(B+C) = AB + AC

(А+В)С = АС + ВС; дистрибутивность сложения.

3). (tA)B = A(tB) = t(AB);

4). AE = A и EA = A, где Е – единичная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю.

5). A0 = 0 и 0A = 0; 6) (AB)^T = B ^T A ^T,

4). Если А и В – квадратная матрицы одного и того же порядка, то |АВ| = |A||В|

A B ≠ В А – не коммуникативно

Пусть А – квадратная матрица порядка n. Тогда матрица B наз. обратной к А, если АВ = ВА = Е, где Е – единичная матрица.

Квадратная матрица наз. обратимой если существует обратная к ней матрица.

Теорема: Если |А| = 0, то обратной к А матрицы не существует. Если |А| ≠ 0, то обратная матрица существует и единственна.