Тема 1.Средние величины

Средней величиной в статистике называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления в конкретных условиях места и времени, отражающий величину варьирующего признака в расчете на единицу качественно однородной совокупности.

Виды средних величин: 1) арифметическая;

2) гармоническая;

3) геометрическая;

1. Средняя арифметическая.

а) Средняя арифметическая простая применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц (наиболее распространенная).

б) Средняя арифметическая взвешенная – средняя сгруппированных величин, вычисляется по формуле:

Пример 1.

Таблица 1

АО с размером дивидендов, руб/	Число АО, ( )	Середина интервала ( )
7 – 130 130 – 253 253 – 376 376 – 499 499 – 622 622 – 745 745 – 868 868 – 991	13 12 7 13 16 12 13 14	68,5 191,5 314,5 437,5 560,5 683,5 806,5 929,5	890,5 2298,0 2201,5 5687,5 8968,0 8202,0 10484,5 13013,0
ИТОГО	100	-	51745,0

В данном случае следует воспользоваться формулой средней арифметической взвешенной. Поскольку интервальные значения признака встречаются не один раз, и эти числа повторений (частоты) не одинаковы.

Конкретными значениями признака, которые должны непосредственно участвовать в расчетах, служат середины интервалов (но не средние в интервалах значения), а весами частоты.

 руб.

Данный результат отличается от полученного, на основе средней арифметической простой. Это объясняется тем, что в расчете на основе ряда распределения мы располагаем не индивидуальными исходными данными, а лишь сведениями о величине середины интервала.

Часто приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним), т.е. среднюю из средних. Так, например, средняя продолжительность жизни граждан страны представляет собой среднее из средних продолжительностей жизни по отдельным регионам данной страны.

Среднее из средних величин вычисляется по следующей формуле, считая :

,

где – число единиц в каждой группе.

Свойства средних величин:

1. Если все индивидуальные значения признака уменьшить (увеличить) в раз, тогда среднее значение нового признака соответственно уменьшится (увеличится) в раз.

;

2. Если варианты осредняемого признака уменьшить (увеличить) на , то средняя арифметическая соответственно уменьшится (увеличится) на то же число .

3. Если веса всех усредняемых вариантов уменьшится (увеличится) в раз, то средняя арифметическая не изменится.

4. Сумма отклонений от средней равна нулю.

2. Средняя гармоническая.

Применяется в тех случаях, когда не известны частоты по отдельным вариантам x совокупности, а представлено их произведение . Обозначим это произведение через , тогда получим формулу средней гармонической взвешенной:

.

является преобразованной формой и тождественна ей. Вместо всегда можно рассчитать , но для этого нужно определить веса отдельных значений признака, скрытые в весах средней гармонической.

Пример 2.

Таблица 2

АО с размером дивидендов, руб	Середина интервала ( )	Общий размер дивидендов в группе, руб.( )
7 – 130 130 – 253 253 – 376 376 – 499 499 – 622 622 – 745 745 – 868 868 – 991	68,5 191,5 314,5 437,5 560,5 683,5 806,5 929,5	890,5 2298,0 2201,5 5687,5 8968,0 8202,0 10484,5 13013,0
ИТОГО	-	51745,0

3. Средняя геометрическая.

Применяется, когда индивидуальные значения признака характеризует средний коэффициент роста (представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики). Вычисляется по формуле:

– число вариантов; – знак произведения.

Наиболее широко применяется для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.