Тема 6. Числовые и функциональные ряды.

1. Знакопостоянные ряды.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Сравнивая общий член данного ряда с общим членом сходящейся гео-метрической прогрессии , где , замечаем, что при всех . Следовательно, исследуемый ряд сходится по признаку сравнения.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Замечаем, что . Необходимый признак сходимости не выполняется. Ряд расходится.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Так как для , а - общий член расходящегося гармонического ряда, то в силу признака сравнения данный ряд расходится.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Сравнение с гармоническим рядом по признаку сравнения здесь ничего не дает, так как , и никакого заключения о сходимости данного ряда сделать нельзя. Воспользуемся признаком сравнения в предельной форме с тем же гармоническим рядом. Имеем: , , следовательно,

Получен конечный и отличный от нуля предел. Сравниваемые ряды ведут себя одинаково, и так как гармонический ряд расходится, то расходится и данный ряд.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Так как

(знак ~ означает эквивалентность последовательностей при ), то данный ряд ведет себя (в смысле сходимости) так же, как ряд . Последний сходится как обобщенный гармонический с показателем . Следовательно, сходится и данный ряд.

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применим признак Даламбера. Здесь

и, следовательно, ряд сходится.

Пример 7. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Общий член данного ряда представляет собой -ю степень некоторого выражения, поэтому удобнее всего применение радикального признака Коши:

Так как то данный ряд сходится.

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применим интегральный признак Коши. Так как то функцией, принимающей в точках значения будет функция . Она непрерывна в промежутке и монотонно и нем убывает. Вычислим несобственный интеграл :

Интеграл расходится. Из его расходимости следует расходимость данного ряда.

Пример 9. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Если применить к данному ряду признак Даламбера, то, как нетрудно проверить, Следовательно, признак Даламбера ответа не дает. Но в этом случае и Следовательно, применение радикального признака Коши также бесполезно. Интегральный признак Коши здесь применить затруднительно, так как общий член ряда содержит факториалы.

Попытаемся использовать признак сравнения. Оценим общий член данного ряда:

Увеличивая в каждом множителе, начиная со второго, числители и знаменатели на единицу и учитывая, что (поскольку ), получаем неравенство

Так как , то и подавно , откуда , и, следовательно, . Но ряд с общим членом сходится как обобщенный гармонический с показателем . Следовательно, по признаку сравнения, сходится и исследуемый ряд с общим членом .

Пример 10. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Нетрудно убедиться в том, что данный ряд (в смысле сходимости) ведет себя так же, как и ряд конечен и отличен от нуля).

Исследуем на сходимость второй ряд. Представим его общий член в виде произведения общего члена сходящегося обобщенного гармонического ряда и частного от деления на некоторую положительную степень ; например, так:

.

Так как

(здесь дважды применено правило Лопиталя), то начиная с некоторого номера и, следовательно, для достаточно больших справедливо неравенство . Ряд с общим членом сходится как обобщенный гармонический с показателем . Следовательно, по признаку сравнения, сходится ряд , а его сходимость, в свою очередь, по признаку сравнения, влечет за собой сходимость исходного ряда.

Рассмотрим теперь пример, когда предельная форма признака Даламбера ответа о сходимости ряда не дает, в то время как первоначальная форма признака Даламбера вполне эффективна.

Пример 11. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Наличие факториала в общем члене данного ряда наталкивает на мысль использовать признак Даламбера:

.

Таким образом, предельная форма признака Даламбера ответа о сходимости ряда не дает. Замечаем, однако, что при всяком справедливо неравенство . Действительно,

,

так как . Следовательно, при всяком для данного ряда . По признаку Даламбера, данный ряд расходится.

Пример 12. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Предел отношения в данном случае вычислить затруднительно. Поэтому применение признака Даламбера отпадает. Используем признак Коши. При вычислении предела воспользуемся формулой Стирлинга и заменим на

.

Ряд расходится.

Пример 13. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Первая мысль, возникающая при рассмотрении данного ряда, применить признаки Даламбера или Коши. Но оба предела и здесь не существуют. Однако верхний предел

существует и меньше единицы. По радикальному признаку Коши, данный ряд сходится.