Глава 2. Несобственные интегралы зависящие от параметра Определение равномерной сходимости несобственных интегралов

Пусть функция задана в области . Пусть при каждом закрепленном из несобственный интеграл сходится. Тогда будет представлять собою функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке (в дальнейшем будем обозначать эту функцию через ).

Утверждение, что несобственный интеграл сходится при каждом из , означает следующее: при каждом закрепленном из

.

Следовательно,

или .

А это означает, что для каждого из по любому можно указать число такое, что как только , так же .

Важно заметить, что число выбирается по , и для каждого из оно будет своим, то есть зависит от и от ( .

Если для любого можно указать число , зависящее только от (то есть одно и то же для всех из ), такое что как только , то для всех из , то несобственный интеграл называется равномерно сходящимся относительно параметра на .

Совершенно аналогично вводится понятие равномерной сходимости несобственных интегралов второго рода. Например, пусть функция определена в области ( конечные числа).

Пусть при каждом из несобственный интеграл сходится. Ясно, что тогда будет представлять собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке .

Утверждение, что несобственный интеграл сходится при каждом из , означает следующее. При каждом закрепленном из

( ). То есть для каждого из по любому можно указать число такое, что как только , так сейчас же .

И здесь важно отметить, что число выбирается по , и для каждого из оно будет своим, т.е. зависит и от , и от : .

Если же для любого можно указать число , зависящее только от , такое, что как только то сейчас же сразу для всех из , то несобственный интеграл называется равномерно сходящимся относительно параметра на .

О непрерывности интеграла как функции параметра

Т.: Пусть

1) функция непрерывна в области ,

2) сходится равномерно относительно на .

Тогда функция непрерывна на .

Доказательство. Возьмем любое из и запишем его. Возьмем любое .

По условию сходится равномерно относительно на , поэтому отвечает число , зависящее только от , такое, что при всяком , удовлетворяющем условию , сразу для всех будет

(1)

Выберем и закрепим какое-нибудь , удовлетворяющем условию .

Положив , неравенство (1) сразу для всех можно записать в виде:

. (2)

.

Но - собственный интеграл, зависящий от параметра . По теореме о непрерывности собственных интегралов, зависящих от параметра, заключаем, что , а значит, по теореме Кантора, будет равномерно непрерывна на .

Следовательно, взятому отвечает , зависящее только от , такое, что для любых двух точек и из , для которых , будет .

Для разности значений функции в точках и имеем:

В частности, полагая , , где - любое, и , будем иметь . Последнее означает, что функция непрерывна в точке . Так как точка - любая из , то заключаем, что .