
- •Интегралы зависящие от параметра
- •Содержание.
- •Введение
- •1. Собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметра Собственные интегралы зависящие от параметра
- •О допустимости предельного перехода по параметру под знаком интеграла
- •Глава 2. Несобственные интегралы зависящие от параметра Определение равномерной сходимости несобственных интегралов
- •О непрерывности интеграла как функции параметра
- •Глава 3. Эйлеровы интегралы
- •Интеграл Эйлера первого рода (Бета-функция)
- •Пусть . Применяя формулу интегрирования по частям, находим
- •Интеграл Эйлера второго рода (Гамма-функция)
- •Заключение
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
« ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕНЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Курсовая работа
Интегралы зависящие от параметра
Работу выполнил:
студент 132 группы
математического факультета
Зенков Яков Алексеевич
Проверила: Скорнякова Анна Юрьевна.
Пермь 2009 г.
Содержание.
1. СОБСТВЕННЫЕ и несобственные ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
2.1. Определение сообственных интегралов, зависящих от параметра.
2.2. О допустимости предельного перехода по параметру под знаком
2.3. Определение равномерной сходимости несобственных интегралов.
2.4. О непрерывности интеграла как функции параметра.
2. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ.
3.1. Интеграл Эйлера первого рода (Бета-функция).
3.2. Интеграл Эйлера второго рода (Гамма-функция).
Введение
Данная тема актуальна в ВУЗах, так как тема интегралы зависящие от параметра в курсе математического анализа не изучается. Эта исследовательская работа позволяет углубленно изучить студентами данную тему.
Целью исследования является накопление и обработка имеющейся информации.
Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:
Изучить историю понятий
Систематизировать виды интегралов зависящих от параметра
Составить курс практических заданий.
Объектом исследования являются различные виды интегралов зависящих от параметра в курсе ВУЗов.
В работе использованы следующие методы исследования:
Анализ научной литературы
Синтез полученных знаний
Обобщение всех знаний
Работа насчитывает 24 страницы, состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка используемой литературы и содержащего 7 наименований, вспомогательные указатели, а также содержит 3 иллюстраций.
Работа может быть использована в качестве методического материала в любых ВУЗах и СУЗах, где углубленно изучается теория интегралов, а также для самостоятельного изучения материала.
Теоретическая значимость данной работы заключается в систематизации материала.
1. Собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметра Собственные интегралы зависящие от параметра
Определение интегралов зависящих от параметра
Пусть функция
определена в прямоугольнике
.
Пусть при каждом закрепленном
из
существует
.
Ясно, что каждому значению
из
будет отвечать свое, вполне определенное
значение этого интеграла. Следовательно
представляет собой функцию переменной
(параметра)
,
определенную в промежутке
.
Введем обозначение
(1)
Наша задача будет
состоять в том, чтобы, зная свойства
функции
,
получить информацию о свойствах функции
.
Эти свойства, как будет показано ниже,
имеют многообразные применения в
особенности при вычислении интегралов.
Допустим еще, что
при каждом закрепленном
из
существует
.
Тогда этот интервал будет представлять
собой функцию переменной (параметра)
,
определенную в промежутке
.
Обозначим ее через
,
так что
(
)
О допустимости предельного перехода по параметру под знаком интеграла
Теорема. Пусть
функция
и пусть
-
любое из
.
Тогда.
(1)
Отметим, что
существует для каждого значения
из
,
так как
при любом закрепленном
.
В частности существует
.
Возьмем
- любое. Выберем и закрепим любое
.
По условию
,
поэтому
равномерно непрерывна в
,
и, следовательно, взятому
отвечает
,
зависящее только от
,
такое, что для любых двух точек
из
,
для которых
,
оказывается
.
Положим
,
,
где
- любое, но такое, что
,
,
,
где
- любое из
.
Тогда
для любого
,
если
,
.
Имеем:
Итак, любому
отвечает
такое, что как только
,
,
так сейчас же
.
Последнее означает, что
.
Совершенно
аналогично доказывается утверждение:
Если
и если
- любое из
,
то
.