Вопросы для подготовки к защите индивидуального задания

1. Что представляет собой случайный член регрессионного уравнения? Приведите пример его экономической интерпретации.

2. Перечислите предпосылки классической модели линейной регрессии.

3. Что такое “несмещенная оценка коэффициента уравнения регрессии”?

4. Что такое “эффективная оценка коэффициента уравнения регрессии”?

5. Что такое “состоятельная оценка коэффициента уравнения регрессии”?

6. В чем суть метода наименьших квадратов для построения множественного линейного уравнения регрессии?

7. Приведите формулы расчета коэффициентов эмпирического линейного уравнения регрессии по МНК в матричной форме.

8. Как проверить статистическую значимость регрессионного уравнения?

9. Как проверить статистическую значимость коэффициента детерминации?

10. Чем скорректированный коэффициент детерминации отличается от обычного?

11. Как осуществляется анализ статистической значимости коэффициента детерминации?

12. Как используется F – статистика в регрессионном анализе?

13. В чем суть статистики Дарбина-Уотсона и как она связана с коэффициентом корреляции между соседними отклонениями?

14. Как анализируется статистическая значимость статистики Дарбина-Уотсона?

Глава III нелинейная регрессия

0. 3.1. Основные теоретические сведения

Линейные модели обычно применяются для анализа простых взаимосвязей между экономическими показателями. Однако в ряде случаев экономические соотношения имеют более сложный характер и их представление в виде линейной зависимости не всегда возможно, а часто и не корректно.

Однако часто нелинейные связи между объясняющими и объясняемой переменной можно с помощью определенных преобразований свести к линейным.

К таким нелинейным связям в частности относятся:

1) Нелинейные регрессии относительно объясняющих переменных Х_i, но линейные по оцениваемым параметрам _i .

а) Y = ₀ + ₁ Х + ₂ Х² + …+ _m Х^m + - степенной полином.

б) Y = ₀ + ₁ + - равносторонняя гипербола.

2) Регрессии нелинейные по оцениваемым параметрам _i .

а) Y = А - показательная функция.

б) Y = A - степенная функция.

в) Y = - экспоненциальная функция.

Нелинейности первого вида приводятся к линейным регрессиям с помощью преобразования объясняющих переменных (введением новых переменных).

Примеры.

Y = ₀ + ₁ Х + ₂ Х² + … Y = ₀ + ₁ Х₁^* + ₂ Х₂^* + …+ _m Х^m + , (3.1)

где Х₁^* = Х; Х₂^* = Х², …, Х_m^* = Х^m.

Y = ₀ + ₁ + Y = ₀ + ₁ Х^* + , (3.2)

где Х^* = .

Оценка коэффициентов осуществляется по уравнению (3.1) с использованием метода МНК оценки для множественной линейной регрессии.

Выражение (3.2) соответствует парной линейной регрессии.

Нелинейности второго вида приводятся к линейным с помощью операции логарифмирования.

Пример.

В качестве примера рассмотрим производственную функцию Кобба-Дугласа

Y = A , (3.3)

где Y – объем производства; К – затраты капитала; L – затраты труда; - случайное возмущение; ₁, ₂ – коэффициенты частной эластичности объема производства Y по затратам капитала К и труда L; A – постоянный коэффициент.

Логарифмируя обе части уравнения (3.3) для i – го наблюдения, получим

ln y_i = ln A + ₁ ln K_i + ₂ ln L_i + ln _i . (3.4)

Переобозначив переменные в (3.4)

y_i^* = ln y_i ; Х_1i = ln K_i ; Х_2i = ln L_i ; ₀ = ln A; = ln _i ,

получим

y_i^* = ₀ + ₁ Х_1i + ₂ Х_2i + (3.5)

Для выборки объема n в матричной форме уравнение (3.5) запишется в виде

, (3.6)

где = (y₁^* , y₂^* ,…, y_n^* )^T ; В = ( ₀ , ₁ , ₂ )^Т ;

.

Таким образом, алгоритм оценки параметров нелинейной регрессии состоит из предварительного преобразования нелинейной модели к линейной и оценки ее параметров обычным образом с использованием МНК. После чего осуществляются обратные преобразования и возврат к исходному нелинейному уравнению.

Для нелинейной регрессии значимость уравнения в целом характеризуется также, как и в линейной регрессии с помощью коэффициента детерминации :

= 1 – (1 – R²) , (3.7)

где R² = 1 - . (3.8)

В (3.8) определяется по исходному нелинейному уравнению регрессии.

Примечание. Значимость коэффициентов регрессии осуществляется по линеаризованному уравнению. Поэтому, если в линеаризованном уравнении присутствует не b_i , а ln b_i , тогда Т-статистика этого параметра будет:

Т_bi = ,

и характеризует значимость не самого коэффициента b_i , а его логарифма.

При описании статистической зависимости между экономическими переменными различными функциональными соотношениями выбор наилучшей модели осуществляется следующим образом. Выбираются уравнения с наибольшими значениями . Если таких уравнений несколько (примерно с одинаковыми значениями ), то выбирается модель, у которой наименьшая или наименьшая остаточная дисперсия

.