1.10 Математическое ожидание значения случайной величины

Прежде чем дать определение понятия математического ожидания, рассмотрим понятие о среднем значении какой-либо величины, получае­мой из опыта.

Удачным примером для определения среднего значения может служить результат стрельбы группы стрелков по одному из упражнений Курса стрельб 2003 г. [23].

Например, из 16 человек, выполнявших 4-е упражнение начальных стрельб из СВД, дали:

• по 5 пробоин - 10 стрелявших;

• по 4 пробоины - 4 стрелявших;

• по 3 пробоины - 1 стрелявший;

• по 2 пробоины - 1 стрелявший.

Среднее число попаданий на каждого стрелявшего определяется как обычное среднее арифметическое, но запишем это действие следующим образом:

попадания.

Очевидно, что это не изменяет результата при обычной записи:

попадания.

Но в первом виде средний результат представлен как сумма пар­ных произведений частных значений случайной величины (число попаданий в нашем примере) на соответствующие им частоты данных результатов.

Теперь, обозначив частные значения случайной величины через X₁; Х₂; Х₃; . . . . ; Хn , а соответствующие частоты этих значений через W₁; W₂; W₃;…; W_n, получим общее выражение для среднего значе­ния величины:

.

Сформулировать это выражение можно так.

Среднее значение какой-либо величины равно сумме произведе­ний частных значений этой величины на соответствующие им частоты.

После уяснения сделанного вывода легко перейти к формуле мате­матического ожидания.

Так как при достаточно большом числе опытов частота события приближается к его вероятности, то, заменив в выведенной формуле среднего результата значения частоты W₁; W₂; W_s; . . . ; W_n равными им вероятностями P₁; Р₂; Р₃; ... ; Р_n, получим среднее ожидаемое значение величины или математическое ожидание величины:

МОЖ(х)=х₁·P₁+x₂·P₂+x₃·P₃+ … +х_n·Р_п,

где МОЖ(х) - математические ожидание величины х;

х - искомая величина;

x₁, х₂, х₃, . . . , х _n - частные значения переменной величины х;

P₁, P₂, P₃, . . . ,Р_n - соответствующие частным значениям х вероятно­сти.

Следует отметить, что обозначение МОЖ(х) часто заменяют на «а»: МОЖ(х)=а.

Сформулировать выражение МОЖ (х) можно так.

Математическое ожидание значения какой-либо величины равно сумме произведений частных значений этой величины на соответствую­щие им вероятности.

Для закрепления понятия МОЖ (х) решим следующий пример.

Нам известны вероятности получения ошибок в пределах участков V - VIII после получения перелета в точке «а» (рис. 7): Р₅ =0,5; Р₆ =0,32; Р₇=0,14; Р₈=0,04. Определить математическое ожидание расхода гранат для захвата цели в вилку шириной в один участок (скачок прицелом производим каждый раз на ширину участка).

Задача решается следующим образом.

Предположим, что:

1) ошибка допущена в пределах V участка; тогда для получения вилки достаточно двух гранат (в точке «а» - перелет, в точке «е» - недолет).

2) ошибка допущена в пределах VI участка; тогда для получения вилки потребуется 3 гранаты и т. д.

Таким образом, мы имеем частные значения расхода гранат (2, 3 и т. д.) и соответствующие этим частным значениям вероятности: 0,5; 0,32 и т. д.

Подставив эти значения в формулу математического ожидания, получим а= 2·0,5+3·0,32+4·0,14+5·0,04=2,72 гранаты.

Особо подчеркнем, что математическое ожидание, как и среднее значение, всегда именованное число.

Объясним теперь очень важное понятие о математическом ожида­нии попаданий при одном или нескольких выстрелах.

При одном выстреле может быть одно из двух противоположных событий: попадание или промах. Говоря о математическом ожидании числа попаданий при одном выстреле, частными значениями переменной величины могут быть только два: х₁=1 (одно попадание) и х₂=0 (ноль попаданий).

Пусть известна вероятность попадания в цель при одном выстреле р, тогда по общей формуле получим: МОЖ(х)=а₁= x₁·р + х₂·q,

где МОЖ(x)=a₁ - математическое ожидание числа попаданий при одном выстреле;

x₁, х₂ - частные значения величины попаданий;

р - ве­роятность попадания при одном выстреле;

q - вероятность промаха при одном выстреле.

Но, так как х₂=0, то произведение х₂ · q =0.

Тогда a₁ =x₁·p=1·p; а₁=р.

Математическое ожидание числа попаданий при одном выстреле численно равно вероятности попадания при одном выстреле.

Полученный вывод имеет большое значение для дальнейших расче­тов по определению МОЖ числа попаданий при нескольких выстрелах.

Решим следующий пример. Известна вероятность попадания при одном выстреле р. Найти математическое ожидание числа попаданий при двух

выстрелах (если р остается неизменной).

Выпишем в столбик возможные частные значения величины попа­даний и соответствующие им вероятности (вероятность промаха обозна­чим q).

Таблица № 6.

Вероятности попаданий.

№№ п/п	Возможные частные значения при двух выстрелах	Соответствующие им ве­роятности
1. 2. 3. 4.	Попадание, попадание. Попадание, промах. Промах, попадание. Промах, промах.	р·р = р2 p·q q·p q·q = q2

По общей формуле найдем математическое ожидание числа попада­ний при двух выстрелах а₂:

МОЖ(х)= a₂=2·p²+1·p·q+1·q·p+0·q² = 2p²+2p·q=2p(p+q), но р+q=1 как сумма вероятностей противоположных событий.

Тогда: а₂=2·р.

Подобным же образом можно показать, что при трех выстрелах

a₃ =3р; при n выстрелах:

а_n = n · р.

Сформулировать последнее выражение можно так.

Математическое ожидание числа попаданий при нескольких выстрелах равно произведению числа выстрелов на вероятность попадания при одном выстреле.

Выведенная формула позволяет решать ряд важных задач по определению расхода боеприпасов для получения в цель заданного среднего количества попаданий.

Из установленной зависимости a_n= n·р следует, что n = ,т.е. средний расход боеприпасов (n) определяется как отношение среднеожидаемого числа попаданий в цель к вероятности попадания в эту цель при одном выстреле.

Далее мы (в главе IV «Вероятность попадания и поражения целей») рассмотрим решения целого ряда задач, связанных с понятием матема­тического ожидания.

Теория вероятностей, сведения из которой мы рассмотрели, дает необходимые знания для изучения практических вопросов рассеивания снарядов, пуль, гранат, мин и расчета вероятности попадания и поражения цели. Рассеивание снарядов и объективно существующая закономерность этого явления является частным случаем нормального закона ошибок. Поэтому правильное, научное объяснение явления рассеивания невоз­можно без знания закона ошибок.

Сведения из теории вероятностей дают возможность научно обосно­вать, правила стрельбы из огнестрельного оружия.

Для стрелкового оружия теория вероятностей и закон рассеивания обосновывают правила проверки боя и приведению оружия к нормальному бою (число патронов, нормы отклонений и т. д.), дают возможность расчета количества патронов для поражения целей.

Можно сказать, что только благодаря развитию теории вероятно­стей и ее приложению к теории стрельбы явилась возможность создания правил стрельбы, возможность всестороннего исследования принятых правил и их дальнейшего совершенствования.

Сведения из теории вероятностей и теории ошибок дают правила обработки результатов измерений и результатов стрельбы, на основании которых выявляются особенности боя различных образцов оружия и особенности различных стрелков, выявляются их ошибки.

Сведения из теории вероятностей и теории ошибок вооружают офи­церов и курсантов знаниями, позволяющими им проводить исследовательские работы, вырабатывать новые правила и приемы стрельбы, развивать дух твор­ческого, недогматического подхода к установленным правилам стрельбы, умение критически подходить к результатам своих стрельб, находить приемы и правила стрельбы.