Событие а

Р(А)=0,4

9 10 9

Событие в

Р(В)=0,3

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Рис. 1. Вероятность суммы несов­местных событий.

Решение: Р (С)=Р (А)+Р (В); Р (С) =0,4+0,3=0,7.

Примером широкого применения этого свойства в практике решения стрелковых задач является подсчет вероятности попадания в цель по шкале рассеивания.

Если цель - поясная фигура - покрывается тремя срединными поло­сами

рассеивания по высоте (рис. 2), то вероятность попадания в нее по высоте равна 48%. Эта вероятность подсчитана как сумма вероят­ностей трех несовместимых событий.

Подобным образом на основании правил сложения решается целый ряд задач по определению вероятности попадания в различные цели.

Из рассмотренного вытекает ряд важных следствий.

Первое из них заключается в том, что сумма вероятностей событий, составляющих полную систему, равна 1.

Рис. 2. Вероятность суммы событий.

Например, если при одном выстреле вероятность попадания у стрелка в круг «10» равна Р₁ =0,5; в круг «9» - Р₂ =0,3; в круг «8» - Р₃ =0,1; в круг «7» - Р₄ =0,1 и в данных условиях других результатов не может быть, то сумма вероятностей событий, составляющих полную систему, равна единице.

Р (А₁) + Р (А₂) + Р (А₃) +Р (А₄) = 1.

Смысл этого следствия легко уясняется простыми рассуждениями: если рассматривать все возможные в каких-то конкретных условиях со­бытия, то, очевидно, сумма вероятностей всех этих событий равна еди­нице, т. е. какое-то из этих событий должно обязательно произойти.

Если в результате испытания возможно лишь два исхода, т. е. если система состоит из двух противоположных событий, то сумма вероятно­стей противоположных событий равна 1.

Пример. Вероятность попадания в цель Р = 0,8. Вероятность про­маха q =0,2; Р+ q =1.

Значит, для определения вероятности одного из противоположных событий надо из единицы вычесть известную вероятность другого собы­тия:

Р=1-q.

Как видим, все рассмотренные следствия вполне очевидны и только строго математически фиксируют определенные свойства вероятностей различных событий. Эти математические выражения свойств вероятно­стей понадобятся для изучения последующих вопросов.

Третье свойство вероятностей - правило умножения - так же как и предыдущие, является обобщением наблюдения над частотами событий и отражает закономерность вероятности появления сложных событий.

Как и при объяснении правила сложения, рассмотрим снача­ла произведение частот. Пусть произведено 100 выстрелов из пистолета по мишени № 4 (грудная с кругами), в результате которых событие А - попадание в грудную фигуру - имело место 80 раз. Среди этих 80 попа­даний в фигуру было 11 попаданий в семерку - событие В (рис. 3).

Р ис. 3. Вероятность произведения зависимых событий: событие А - попадание в фигуру; событие В - попадание в семерку на площади фигуры.

Частота появления события А (попадание в фигуру) – есть .

Частота появления события В при условии осущест­вления события А (частота попадания в семерку из числа попаданий в фигуру) – есть

.

Частота осуществления события, состоящего в том, что будет полу­чено и попадание в фигуру, и попадание в семерку из общего числа выстрелов, равна: .

Но , где и ,

т.е. W(AB) = W(A)·W_A(B).

Это свойство частоты появления сложных событий, как установлено теорией вероятностей, распространяется и на вероятности их появления и составляет правило умножения.

Вероятность произведения двух событий, т. е. вероятность получе­ния сложного события, состоящего из двух простых, есть произведение вероятности одного из них на вероятность другого, вычисленную в пред­положении, что первое событие произошло:

Р(АВ) = Р(А)·Р_А(В) или P=P₁ ·P₂ .

Совершенно очевидно, что безразлично какое событие считать пер­вым, а какое вторым:

Р (АВ) = Р(А) · Р_А (В) = Р_А (В) · Р(А) или Р = Р₂ · Р₁.

Если события А и В взаимонезависимы, т. е. появление события В не зависит от того, имело ли место событие А, то вероятность произведения независимых событий определяется по правилу умножения и форму­лируется проще.

Вероятность произведения независимых событий равна произведе­нию их вероятностей.

Так, если события А, В, С независимы, то Р(АВС)= Р(А)·Р(В)·Р(С) или Р = Р₁·Р₂·Р₃.

Пример. Два стрелка ведут огонь по цели. Вероятность попадания в цель первого стрелка Р(А) =0,8; второго - Р(В) =0,6. Какова вероят­ность, что оба стрелка, произведя по одному выстрелу, попадут в цель?

Попадание в цель обоими стрелками - событие сложное и состоит из произведения событий А и В. События А и В взаимонезависимы, так как по условиям примера попадание в цель одним из стрелков не изменяет вероятности попадания в цель другим стрелком.

Следовательно, на основании правила умножения:

Р=Р₁·Р₂; Р=0,8·0,6=0,48.

Так же, как правило сложения, свойство вероятностей сложных со­бытий находит широкое применение в практике решения стрелковых за­дач при определении вероятности попадания в цель.

Например, зная, что вероятность попадания в сердцевинную полосу рассеивания равна 70%, на основании аксиомы умножения находится вероятность попадания в сердцевину рассеивания (рис. 4):

Р(С)=Р(АВ)=Р(А)·Р(В)

Р(С)=Р(АВ)= 0,7·0,7=0,49 или 49%

Рис. 4. Вероятность произведения событий.

Р(С)=Р(АВ)=Р(А)·Р(В).

.

Точно так же, найдя вероятность попадания в цель по высоте и по боковому направлению, для определения общего процента попадания в цель согласно правилу умножения надо перемножить найденные вероят­ности. (Подробное рассмотрение подобных задач будет показано в гла­ве «Вероятность попадания и поражения целей»).

Приведем примеры задач, на которых можно закрепить понятия о свойствах вероятности появления события.

Пример 1. В группе 15 слушателей, из них отлично успевающих - 6, хорошо - 5, удовлетворительно - 3, неуспевающих - 1. Какова вероятность того, что вызванный слушатель будет или отлично, или хорошо успевающим?

Решение. Обозначим буквой А событие, заключающееся в том, что вызванный наугад слушатель будет отлично успевающим; вероятность этого события .

Событие, заключающееся в том, что вызванный слушатель окажется хорошо успевающим, обозначим через В, тогда вероятность этого события

.

Вероятность того, что вызванный слушатель окажется либо отлично, либо хорошо успевающим согласно правилу сложения равна:

Р (А+В)=Р (А)+Р (В);

или 74%.

Полученное число показывает, что при большом количестве опытов вызванный для ответа слушатель данной группы окажется или отлично, или хорошо успевающим примерно в 74 случаях из 100. Причем, очень важно понимать, что в каком-то отдельном случае вызванный слушатель может, конечно, оказаться и удовлетворительно, и плохо успевающим, но при большом числе опытов около 74% вызовов дадут или отличные, или хорошие ответы.

Пример 2. Положим, что вероятность попадания в танк при одном выстреле из 73-мм орудия БМП-1 равна 0,3. Какова вероятность того, что при трех выстрелах попадания получено не будет? (Считаем, что вероятность попадания от выстрела к выстрелу не изменяется).

Решение. Три промаха подряд есть событие сложное, являющееся произведением трех событий: промаха при первом выстреле А, промаха при втором выстреле В и промаха при третьем выстреле С.

Вероятность промаха, как события противоположного попаданию, равна q=1-0,3 = 0,7.

Вероятность трех промахов подряд, согласно аксиоме умножения, равна: Р(А, В, С) =0,7·0,7·0,7 = 0,344 или 34,4%.

Это означает, что в данных условиях при большом количестве стрельб по три выстрела примерно в 34 случаях из ста не будет получе­но ни одного попадания. В остальных 66 случаях цель будет поражена или одним, или двумя, или тремя попаданиями.