1.3 Вероятность появления события. Свойства вероятности

Из сказанного выше нетрудно сделать вывод о том, что если данное событие обладает устойчивой частотой, то при массовых испытаниях частота появления события будет колебаться около некоторого числа Р, называемого вероятностью появления данного события.

Таким образом, вероятность появления события есть определенная численная мера степени объективной возможности появления данного события. Вероятность появления события А обозначается Р(А).

Когда про какого-нибудь стрелка говорят, что он при данных усло­виях стрельбы дает 92% попаданий, то это означает, что из сотни выст­релов, произведенных им при некоторых определенных условиях (одна и та же цель на том же расстоянии, та же винтовка и т. д.), в среднем бывает примерно 92 удачных (и значит около 8 неудачных).

Конечно, не в каждой сотне 92 удачных выстрела; иногда их будет 91 или 90, иногда 93 или 94: подчас число их может оказаться даже заметно меньше или заметно больше, чем 92, но в среднем при много­кратном повторении стрельбы в тех же условиях этот процент попаданий будет оставаться неизменным, покуда с течением времени не произойдет каких-нибудь существенных изменений (так, наш стрелок может повы­сить свое мастерство, доведя средний процент попаданий до 95 и выше).

Опыт показывает, что у такого стрелка в большинстве случаев число удачных выстрелов на сотню будет близко к 92; такие сотни, в ко­торых, например, это число меньше, чем 88 или больше 96, хотя и будут встречаться, но сравнительно редко.

Цифра 92%, служащая показателем мастерства нашего стрелка, бывает обычно очень устойчивой, т. е. процент попаданий в большинстве стрельб в тех же условиях будет для данного стрелка почти один и тот же, лишь в редких, исключительных случаях уклоняясь сколько-нибудь значительно от своего среднего значения.

Так следует понимать суть понятия «вероятность события».

Основным свойством вероятности является то, что вероятность есть определенное число, связанное с появлением случайного события. Нам известно, что частота появления случайного события изменяется в пре­делах от 0 до 1.

Первое свойство вероятности обычно формулируется так:

Каждому случайному событию А соответствует определенное число Р(А), называемое вероятностью этого события, и могущее быть в пре­делах от 0 до 1.

Это свойство говорит о том, в каких пределах может быть заключе­но число Р(А), вокруг которого колеблется устойчивая частота. Очевид­но, это число не может быть менее нуля и более единицы, но может быть равно нулю или единице, т. е. 0≤Р(А)≤1

Из приведенного выражения понятно, что если событие достоверно, то вероятность его появления равна единице; если же событие невоз­можно, то вероятность его появления равна нулю.

Для объяснения следующих свойств вероятности необходимо уста­новить понятия о сумме и произведении событий.

Понятие суммы можно объяснить на следующем примере. Пусть мишень представляет собой бегущую фигуру, нижняя половина которой - черная, а верхняя - белая. Если событие А - попадание в черную часть мишени, событие В - попадание в белую часть мишени, то попадание в мишень вообще - безразлично, выше или ниже пояса - есть событие С=А+В, т. е. осуществление события С есть сумма событий А и В. Зна­чит, событие С состоит либо из события А, либо из события В, безраз­лично какого именно.

Итак, суммой событий А и В называется такое событие С, которое заключается в том, что произойдет либо событие А, либо событие В, либо оба одновременно.

Понятие суммы событий может быть распространено на любое число событий. Например, пусть нас интересует событие С, которое заключает­ся в том, что при стрельбе из пистолета по спортивной мишени № 4 пуля не выходит из пределов черного круга (из пределов круга 7). Это событие является суммой следующих событий: попадания в «десятку»; попадания в «девятку», попадания в «восьмерку»; попадания в «семерку». Таким образом, событие С есть сумма перечисленных четырех событий.

Произведением событий А и В называется такое событие С, которое заключается в том, что происходят и событие А, и событие В.

Это произведение событий записывается следующим образом:

С=АВ.

Пример. Событие А заключается в том, что при стрельбе из АГС-17 получен перелет, событие В - получено отклонение вправо. Тогда событие С, состоящее в том, что при одном выстреле из АГС-17 полу­чен и перелет и отклонение вправо, есть произведение событий А и В.

Событие С по отношению к событиям А и В называется сложным, события А и В по отношению к событию С - простыми.

Произведение событий так же, как и сумма, может быть распростра­нено на любое число событий.

Таким образом, сумма событий слагается либо из события одного, либо из события другого, либо из того и другого; произведением же событий называется такое сложное событие, при котором произойдет и событие первое, и событие второе.

Можно запомнить, что сумма событий отвечает на вопрос «либо - ли­бо», а произведение событий - на вопрос «и - и».

Перейдем теперь к рассмотрению следующего свойства вероятности.

Начнем опять рассмотрение вопроса с частот. Пусть произведено 100 выстрелов по спортивной мишени № 5 в возможно одинаковых ус­ловиях. При этом событие А - попадание в десятку - произошло 15 раз, событие В - попадание в девятку - 25 раз. Для каждого отдельного выстрела события А и В несовместимы, так как невозможно при одном выстреле получить попадания и в десятку и в девятку.

Частота события А - .

Частота события В - .

Пусть по условию задачи нас удовлетворяют все попадания, не вы­шедшие из круга девять. Обозначим это событие С. Тогда частота инте­ресующего нас события С есть:

Следовательно, можно записать:

W(C)=W·(A+B)=W(A)+W(B),

т. е. частота суммы двух несовместных событий равна сумме частот этих событий.

Так как существует объективно такое число Р(А), около которого колеблется частота W(А), число Р(В), около которого колеблется частота W(В) и число Р(С), около которого колеблется частота W(C), то очевидно, что сумма Р (А)+Р(В) должна приблизительно быть рав­на Р(С).

Этот вывод является вторым свойством вероятности.

Вероятность того, что произойдет одно из двух (или более) несо­вместных событий, равна сумме их вероятностей. Это свойство обычно называют правилом сложения вероятностей и записывают так:

Р (С)=Р (А+В)=Р (А)+Р (В).

Пример. Вероятность получения события А - попадания в круг «10» при стрельбе из пистолета по мишени № 5 - Р(А) =0,4; вероятность по­лучения события В - выбить 9 очков - Р(В) =0,3. Это условие можно пояснить чертежом (рис. 1). Какова вероятность того, что стрелок, сделав один выстрел, выбьет не менее 9 очков, т. е. выбьет либо 10, либо 9 очков?