1.2 Частота появления события. Свойства частоты

При необходимости получить данные о закономерности появления того или иного события в результате произведенных испытаний, мы оп­ределяем, как часто появлялось интересующее нас событие по отноше­нию ко всему числу производившихся испытаний в одних и тех же усло­виях.

Отношение числа появлений интересующего нас события к числу всех произведенных испытаний называется частотой появления данного события.

Если обозначить число всех испытаний N, число появлений данного события через М, а частоту появления события А - через W(A), то получим выражение для частоты:

.

Пример. Произведено 10 выстрелов в цель в определенных одинаковых условиях и получено 6 попаданий.

Если обозначим событие - получение попадания - через А, частоту его через W(A), число всех испытаний N= 10 и число появления событий М= 6, то .

Установим основные свойства частоты:

I. Частота события может выражаться в пределах от нуля до еди­ницы.

Максимальная величина частоты W (А) = 1 может быть тогда, когда при каждом испытании имело место событие А, т. е. М= N.

Минимальная величина частоты W (А) =0 может быть тогда, когда событие А не имело места ни при одном испытании, т. е. М=0.

II. Частота появления события изменяется с изменением числа испы­таний. Если в условиях предыдущего примера мы произвели еще один выстрел и получили попадание, то , если получили промах, то

W(A) = .

От этого примера перейдем теперь к объяснению третьего свойства - устойчивости частоты.

III. На первый взгляд приведенное изменение частоты может пока­заться произвольным, не связанным ни с какой закономерностью. В действительности же оказывается, что при достаточно большом числе испы­таний частота колеблется около какого-то определенного числа и тем более узки границы колебания, чем больше число испытаний.

Французский естествоиспытатель Бюффон подбрасывал монету 4040 раз, при этом герб выпадал 2048 раз, т. е. частота появлений гер­ба составила 0,5069; английский биолог Пирсон из 12000 бросаний моне­ты получил частоту появлений герба 0,5016, а затем из 24000 бросаний - 0,5005.

Таким образом, мы видим, что в данных испытаниях частота колеб­лется около числа 0,5. Опыты показывают, что случайные события мас­сового характера обладают такой устойчивой частотой. Причем, эта ус­тойчивость не исходит из определения частоты, а является объективным свойством данных определенных событий.

Итак, третье свойство частоты: при достаточно большом числе испы­таний (опытов) частота становится устойчивой, т.е. колеблется с уве­личением опытов около какого-то числа и пределы колебаний тем более узки, чем больше будет производиться испытаний.

Свойство частоты оставаться устойчивой при большом количестве испытаний имеет исключительно важное значение для построения всех выводов теории вероятностей. Это свойство является важнейшей харак­теристикой частоты и поэтому будет нами очень часто использоваться в последующих рассуждениях и доказательствах.

Приведем несколько задач, решением которых закрепим понятие о частоте появления событий.

Пример 1. Стрелку выдано пять патронов. Он сделал три выстрела и получил два попадания. Найти частоту попадания.

Решение. Обозначим число выстрелов, произведенных стрелком, че­рез N, число попаданий - М, частоту попадания через W (A).

Тогда , или около 66%.

Э той задачей легко подтвердить числами первое свойство частоты: частота попадания может выражаться числом в пределах от нуля до единицы. Частота попадания была бы равна 1 или 100%, если бы стрелок из трех выстрелов дал три попадания; если бы попаданий не было ни одного, то частота события (попадания) равнялась бы нулю.

В нашем решении частота попадания выражается числом 2/3 или примерно 66%. Это значит, что из всех произведенных опытов интересующий нас результат (попадание) получен в 2/3 всех испытаний.

Пример 2. Найти частоту попадания в десятку, девятку, восьмерку и т. д., если все пули попали в мишень и получено: десяток - 3; девяток - 4; восьмерок - 2. Как изменится каждая частота, если, сделав еще один выстрел, получим шестерку?

Решение: Обозначим событие - попадание - буквой А, попадание в круг «10» - А₁₀, в круг «9» - А₉ и т. д.

Тогда ; ; .

Если после произведенного десятого выстрела получено попадание в шестерку, то, очевидно, все частоты изменятся следующим образом:

; ; , а частота попадания в шестерку будет равна при десяти выстрелах .

Эта задача поясняет второе свойство частоты - частота события (по­падания) изменяется с изменением числа испытаний. Однако очень важ­но, чтобы это свойство частоты рассматривалось неразрывно с третьим: при большом числе опытов частота от опыта к опыту изменяется на­столько незначительно, что ее можно практически считать неизменной, устойчивой.

Подтвердим это следующей задачей, составленной по результатам тренировочных стрельб из пистолета Макарова.

Пример 3. После 12-ти тренировочных стрельб по спортивной мише­ни № 4 стрелок имел средний результат на десять выстрелов 89 очков. (Общая сумма очков по 12-ти стрельбам равнялась 1068). На следующей тренировке стрелок дает низкий для себя результат - 85 очков. Как изменилась частота попаданий - средний результат после 13-ти стрельб?

Решение: По 12-ти стрельбам частота попаданий, выраженная в оч­ках, равнялась 89 из 100 возможных, т. е. 89%. После 13-ти стрельб об­щее количество выбитых очков стало 1068+85=1153 из 1300 возможных. Следовательно, частота попаданий стала:

или 88,7%, т.е. 88,7 очка из 100 возможных.

Как видим, частота попадания изменилась очень незначительно и можно считать, что для данного стрелка частота попаданий 89 очков является устойчивой.