Решение практических задач

П р и м е р 13.1. Найти общий интеграл уравнения

.

Решение. Разделим переменные в данном уравнении, поделив обе части на выражение cos² y∙sin² x:

.

Интегрируя обе части данного уравнения, получим

,

откуда

Воспользуемся тем, что С – произвольная постоянная и заменим С на . Тогда

.

Это и есть общий интеграл данного уравнения.

П р и м е р 13.2. Найти общий интеграл уравнения

.

Решение. Разрешим уравнение относительно производной :

.

Поделив числитель и знаменатель правой части уравнения на х², получим:

т. е. у  есть функция отношения . Это означает, что данное уравнение – однородное.

Для решения этого уравнения введем новую функцию . Тогда у = ux и . Тогда уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя это уравнение, получим

откуда .

Заменяя в последнем равенстве u отношением , окончательно получим:

.

П р и м е р 13.3. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Положим y = u∙v, тогда y  = u  v + u v  и данное уравнение примет вид:

.

Решая уравнение , получим простейшее частное решение:

.

Подставляя v в уравнение, получим

.

из которого находим u:

Итак, искомое общее решение примет вид

П р и м е р 13.4. Найти общее решение уравнения

.

Решение. 1) Найдем решение соответствующего однородного уравнения. Для этого составим характеристическое уравнение, т. е. y  = k², y  = k:

.

Следовательно,

.

2) Найдем теперь у^*. Здесь правая часть имеет вид , где k = – 3, P_n(x) = A. Так как k = – 3 является двукратным корнем характеристического уравнения, т. е. r = 2, то частное решение у^* следует искать в форме

,

где А – коэффициент, подлежащий определению. Вычислим производные и :

;

.

Подставляя выражения для у^*, и в данное выражение, сокращая обе части на и приводя подобные члены, в итоге получим 2 А = 14, откуда А = 7. Следовательно, искомое частное решение имеет вид:

Итак, общее решение данного уравнения

Пример 13.5. . Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .

Решение. Представим решение данного уравнения в виде ряда

. (*)

Подставив начальное условие , в (*), получим . Продифференцируем разложение (*):

. (**)

Подставим в данное дифференциальное уравнение вместо его значение (**), а вместо – его выражение (*), взяв первые три члена (в соответствии с условием задачи). Получим . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа последнего равенства, получим , . Так как , то , , и решение (8) примет вид .

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

13.1. Найти общие интегралы уравнений:

а) x + x y + y  (y + x y) = 0;

б) x² y  + y = 0;

в) x² + y² – 2 x y y  = 0;

г) x y  + y = ln x + 1;

13.2. Найти частные интегралы по данным начальным условиям:

а) y  = (2 y + 1) ctg x, y (π/4) = 0,5.

б)

в) .

13.3. Решить уравнения:

а) x³ y + x² y  = 1;

б) y  + y  tg x = sin 2 x;

в) y y  + y ² = 0;

13.4. Решить уравнения:

а) y  – 2 y  + y = e^{2 x};

б) y  – 2 y = x e^{– x};

в) y  + 3 y  + 2 y = sin 2 x + 2 cos 2 x.

345