15.6.Таблица понятий и формул по теме «Комплексные числа»

№	Понятие	Определение, формула
1	Комплексное число (алгебраическая форма записи)	z=x+iy, где x, y ; – мнимая единица
2	Действительная часть	x= Re (x + iy) = Re z
3	Мнимая часть	y = Im (x + iy )= Im z
4	z1 = z2
5	Модуль комплексного числа	Длина r вектора
6	Аргумент комплексного числа
7	Главное значение аргумента arg z	;
8	Тригонометрическая форма записи
9	Связь между алгебраической и тригонометрической формами
10	Показательная форма записи
11	Сопряжённое число (формы записи)
12	Действия над комплексными числами сложение умножение деление (при z2≠ 0) формула Муавра извлечение корня

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Пример15.1. Изобразить точками комплексной плоскости комплексные числа 2+3i, -4+2,5i, -2,7-3,3i, 3-2i.

Решение. Между точками числовой плоскости и множеством комплексных чисел существует взаимно однозначное соответствие

Любому комплексному числу x+iy соответствует только одна точка числовой плоскости, определяемая координатами (x, y), и обратно, любой точке плоскости соответствует только одно комплексное число, действительная часть которого равна абсциссе, а коэффициент при мнимой части – ординате точки.

П оэтому точка А изображает комплексное число А=2+3i;

точка В – комплексное число В = -4+2,5i;

точка С – комплексное число С=-2,7-3,3i;

точка D – комплексное число D=3-2i.

Пример 15.2. Даны два числа в алгебраической форме:

z₁=5 + 7i; z₂=3-4i. Найти .

Решение.

.

Пример15.3. Дано: z₁=10-7i; z₂=5i; z₃=3+4i; z₄=(-1+5i); z₅=1-3i. Найти

Решение.

.

Пример 15.4. Даны два числа в тригонометрической форме: z₁=2(cos +isin ); z₂=5(cos + isin ). Найти .

Решение. r₁=2; j₁= ; r₂=5; j₂= .

Подставим эти значения r₁, r₂, j₁ и j₂ в формулу (15.11), получим

Пример15.5. Заданы комплексные числа:

Требуется:

1) представить z₁, z₂, z₃ в тригонометрической и показательной форме;

2) вычислить

3) вычислить все значения .

Решение. 1. Чтобы записать комплексное число в тригонометрической или показательной формах, необходимо найти его модуль и аргумент по формулам (15.2) и (15.5):

отсюда , ,

т. е.

,

Точка принадлежит первой четверти, поэтому

.

Тогда по формуле (15.3)

,

а по формуле (15.7)

.

Итак,

,

,

поэтому

,

,

т. е.

.

2. Воспользуемся тригонометрической формой комплексного числа z₁ и формулой Муавра

3. Перейдем к тригонометрической форме комплексного числа : Комплексное число z₄ лежит в 4-й четверти.

arctg , так как arctg

.

Воспользуемся формулой (15.13), где – арифметический корень:

, (k=0, 1, 2, …).

при k=0

;

при k=1

;

при k=2

.

Пример15.6. Изобразить в комплексной плоскости линии, заданные следующим образом:

1) ;

2) .

Решение.1. Линия - окружность с центром в начале координат с радиусом, равным 8, так как по определению - это расстояние от начала координат до точки z.

2. – это расстояние между точками и . Поэтому равенство означает, что точки искомой линии удалены на расстояние, равное 5 от точки .

Т.е. искомая линия представляет собой окружность радиусом 5 с центром в точке .

Пример 15.7. Указать геометрические места точек комплексной плоскости, для которых выполняются следующие условия:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение. 1. означает действительную часть комплексного числа , т. е. . Поэтому вместо уравнения можно написать . Это уравнение прямой, параллельной оси ординат.

2. Уравнению удовлетворяет множество точек, находящихся на луче, выходящем из начала координат, который образует с осью абсцисс угол 30°.

3. Искомое множество представляет из себя угол, ограниченный лучами и ,

4. Действительная часть комплексного числа . Следовательно, данное множество – правая полуплоскость

Пример 15.8. Дано w = z², где z = x + i y. Найти Re w и Im w.

Решение.

w = (x + i y)² = x² + 2x i y + i² y² =

x³ + 2x i y – y² =

= (x² - y²) + 2x y i.

Отсюда

Re z² = u (x, y) = x² - y² Im z² = υ (x, y) = 2x y.

Пример 15.9. Изобразить на комплексной плоскости области, заданные следующими неравенствами, и установить, являются ли они односвязными.

1. ;

2. .

Р ешение 1) Условию удовлетворяют точки вне круга радиусом 2 с центром в точке , за исключением его границы, уравнение которой . Это односвязная область.

2)Условию удовлетворяют точки вне круга с центром в точке радиусом 2 и условию - круг радиуса 4 с центром в той же точке . Следовательно, данное множество представляет из себя кольцо, ограниченное окружностями радиусов 2 и 4 с центром в точке . Это двусвязная область.

Пример 15.10. Найти производную функции e^5iz+7 и показать, что она дифференцируема при любом значении z.

Решение. функции e^z и 5iz+7 дифференцируемы при всех значениях z. Поэтому и сложная функция, составленная из них, также дифференцируема:

(e^5iz+7 )' = e^5iz+7 (5iz+7)' = 5i e^5iz+7 .

Пример 15.11. Найти все особые точки следующей функции, определить их характер:

Решение. Так как функция имеет три нуля: – девятого порядка; и – второго порядка, то функция имеет три полюса: в точке – девятого порядка; и – второго порядка.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Тема «Комплексные числа»

15.1. Даны комплексные числа z₁ = 3i, z₂ = 2 – 2i, z₃ = 4 + 2i,

z₄ = 4 – 2i, z₅ = 1 – 5i, z₆ = 4 + 3i.

а) на комплексной плоскости изобразить числа z₁, z₅, z₆;

б) найти .;

в) на комплексной плоскости изобразить множества чисел, удовлетворяющих условиям

Ответ: б)

15.2. Записать в алгебраической форме число , если .

Ответ: .

15.3. Даны комплексные числа

Найти и

Ответ: 1;

15.4. Найти модуль и аргумент комплексного числа

Ответ:

25