17. Шкала. Определение. Виды.

Шкала – последовательность чисел, служащая для измерения или количественной оценки каких-либо величин.

Формально шкалой называется кортеж из трех элементов <X, j,Y>, где X – реальный объект, Y – шкала, j - гомоморфное отображение X на Y.

Все шкалы измерения делят на две группы - шкалы качественных признаков и шкалы количественных признаков. К первой группе относятся:

1) Номинальная шкала (шкала наименований) – объектам или дается некоторый признак. Он дает имена объектам.

Эти значения для разных объектов либо совпадают, либо различаются. Шкалы номинального типа допускают только различение объектов на основе проверки выполнения отношения равенства на множестве этих элементов. Допустимыми являются все взаимнооднозначные преобразования (x). В шкале наименований измерены номера телефонов, автомашин, студенческих билетов, пол людей.

2) Порядковая шкала – в ней числа используются не только для различения объектов, но и для установления порядка между ними (оценки знаний учащихся). Допустимыми являются все строго возрастающие преобразования.

Измерение в шкале порядка применяется если:

-необходимо упорядочить объекты во времени или пространстве;

-нужно упорядочить объекты в соответствии с каким-либо качеством, но при этом не требуется производить его точное измерение; какое-либо качество в принципе измеримо, но в настоящий момент не может быть измерено.

Шкалы количественных признаков:

1) Шкала интервалов – допустимыми являются линейные возрастающие преобразования, т.е. линейные функции (измеряют координату точки на прямой).

вида j(x) = ах + b, где х Î Y шкальные значения из области определения Y; а>0; b – любое значение.

Основным свойство - сохранение неизменными отношений интервалов в эквивалентных шкалах.

2) абсолютной j(x) = x, [0; +]. Допустимым является только тождественное преобразование. Результаты измерений -числа в обычном смысле слова(число человек в комнате)

3) Шкала отношений – допустимыми по шкале отношений являются подобные преобразования подобия, линейные возрастающие преобразования без своб. члена.

j(x) = ах, а>0, где х Î Y шкальные значения из области определения Y; а>0; а – действительные числа.

Остаются неизменными отношения численных оценок объектов. Шкалы отражают отношения свойств объектов, т.е. во сколько раз свойство одного объекта превосходит это же свойство другого объекта.

4) Разностей шкала - есть единица измерения, но нет начала отсчета. (Время измеряется, если -год единица измерения), допустимые преобразования

j(x) = х + b, b – действительные числа. Это означает, что при переходе от одной числовой системы к другой меняется лишь начало отсчета.

Применяются в тех случаях, когда необходимо измерить, насколько один объект превосходит по определенному свойству другой объект.

Неизменными остаются разности численных оценок свойств.

18. Экспертные методы получения количественных оценок альтернатив.

1. Метод непосредственной численной оценки

Эксперту предъявляется набор альтернатив а1..аn. Если цель экспертизы- оценка их сравнительной предпочтительности, то альтернативам ставятся в соответствие число: f(a₁), f(a₂), …, f(a_n) – к-рое характеризует её предпочтительность. Если цель-разбиение альтернатив на классы, то для каждой пары эксперт указывает численную оценку степени их сходства.

Часто применяется оценка в баллах (каждой альтернативе –балл, соответствующий ее оценке, более предпочтительной- более высокий), или по методу средней точки –пусть указаны наиболее и наименее предпочтительные альтернативы а1 и а2. Далее нужно указать а3, по предпочтительности между а1 и а2 : f(a3)=(f(a1)+f(a2))/2. Затем нужно указать альтернативы, по предпочтительности между а1 и а3 и между а3 и а2. Процесс до тех пор, пока оценок не станет достаточно для получения кривой.

2. М. Черчмена – Акофа

Предполагается последовательная корректировка оценок. Основные предположения:

1)Каждой альтернативе аi ставится в соответствие число действительное неотриц. f(ai).

2)Если ai предпочтительней aj, то f(ai)> f(aj), если равноценны, то f(ai)=f(aj).

3) f(ai)+f(aj) – совместное осуществление альтернатив ai и aj.

Альтернативы а1..аn ранжируются по предпочтительности (Пусть наиболее предпочтительна а1, затем а2 и т.д.), эксперт указывает численные оценки f(ai). Наиболее предпочтительной – оценка 1, остальные оценки между 0 и 1. Эксперт производит сравнение а1 и суммы а2…аn. Если а1 предпочтительней, то корректируем оценки так, чтобы Иначе . Если a1 –менее предпочтительная, то сравнивается с суммой а2…аn-1. Когда а1 предпочтительнее суммы а2…аk (k>=2), она исключается, корректируется оценка альтернативы а2. Откорректированными д.б. все оценки в итоге.

3. М. Терстоуна

Для численных оценок пердпочтительности альтернатив используются парные сравнения. Sij- частота выбора альтернативы ai как более предпочтительной по сравнению с aj. Оценка каждой из альтернатив – случайная величина, распределенная по нормальному закону с мат ожиданием Мi и дисперсией

Разность f(ai)-f(aj) также распределена по нормальному закону с мат ожиданием: Мij=Mi-Mj и дисперсией:

Rij- коэффициент корреляции между f(ai) и f(aj). Нужно определить Мi (i=1…n), которые и выбираются в качестве численных оценок альтернатив по значениям частот Sij.

4. М. фон Неймана – Моргенштерна.

Способ получения численных оценок альтернатив с помощью вероятностных смесей. Для ai, менее предпочтительной чем аj, но более предпочтительной чем аl, указываем число р(0<=р<=1) такое, что аj эквивалентна смеси:[pai,(1-p)al]. Альтернатива ai выбирается с вероятностью р, аl- с (р-1). Если р близко к 1, то aj менее предпочтительная, чем смесь, и наоборот если р близко к 0. Для каждой из альтернатив а1…аr опред-ся числа u1….ur, характеризующие численную оценку смешанных альтернатив. (для альтернативы [p1a1,p2a2,..,prar] –u1p1+u2p2+…urpr). Функция полезности - u1p1+u2p2+…urpr, характеризует степень предпочт-ти любой альтернативы смешанной (чем больше, тем более предпочтительна).