Графическое представление поля . Теорема Гаусса

Как и другое векторное поле, поле может быть представлено с помощью линий вектора . Их проводят так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора , а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора в данном месте. Полученная таким образом геометрическая картина позволяет судить о конфигурации данного магнитного поля. А теперь сформулируем теорему Гаусса для магнитного поля: Поток вектора сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

.

Она выражает тот факт, что линии вектора не имеют ни начала, ни конца являются замкнутыми линиями. Поэтому число линий вектора , выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью , всегда равно числу линий, входящих в этот объем. Тогда и дивергенция векторного поля всюду будет равной нулю

, или в другой записи .

Это означает, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи. Этот закон является фундаментальным: он справедлив не только для постоянных, но и для переменных магнитных полей.

Циркуляция магнитного поля.

Циркуляцией магнитной индукции вдоль замкнутого контура , проведенного в магнитном поле, называется линейный интеграл , где — вектор элементарной длины контура, на которые мы разбиваем контур, направленный вдоль обхода контура, — индукция магнитного поля в точках малого элемента контура. Проще всего вычислить этот интеграл в случае прямого тока, когда замкнутый контур лежит в плоскости, перпендикулярной к току. На рисунке ток перпендикулярен к плоскости чертежа и направлен за чертеж. В каждой точке контура вектор направлен по касательной к окружности (силовой линии), проходящей через эту точку и составляет с током правовинтовую систему. Скалярное произведение векторов и равно , где — проекция вектора элемента контура на направление поля . Эта проекция, как видно из рисунка равна длине дуге окружности, являющейся силовой линией магнитного поля и принимает положительное значение, если направление обхода контура составляет с током правовинтовую систему (направление проекции совпадает с направлением поля ). Здесь есть угол, на который поворачивается радиальная прямая при перемещении вдоль контура на вектор . В этом случае циркуляция магнитного поля , и учитывая, что индукция магнитного поля, созданного прямолинейным проводником с током бесконечной длины , мы получим . Интеграл , тогда

.

Если сменить направление интегрирование контура на противоположное, по левовинтовой системе по отношению к току, то в этом случае проекции будут принимать отрицательные значения, и

.

Если контур интегрирования не охватывает ток, то циркуляция вектора равна нулю. Действительно. Разобьем контур на два участка и . По участку направление интегрирования составляет с током правовинтовую систему, по участку направление интегрирования составляет с током левовинтовую систему. Тогда

.

Рассмотрим циркуляцию магнитного поля, созданного несколькими токами. По принципу суперпозиции полей . Тогда

, или

.

Циркуляция индукции магнитного поля равна произведению магнитной постоянной и алгебраической сумме токов, охватываемых контуром интегрирования

.

Ток берется со знаком « », если он составляет с направлением интегрирования правовинтовую систему, и со знаком « » при левовинтовой системе.

Если контур интегрирования находится в токопроводящей среде, в которой непрерывное распределение тока по площади контура интегрирования задается плотностью тока, то в этом случае сумма токов заменяется через интеграл по поверхности S, натянутой на контур интегрирования, а теорема о циркуляции индукции магнитного поля принимает вид

.