МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

___________________________ Санкт- Петербургский государственный электротехнический

университет ( ЛЭТИ )

КАФЕДРА МОЭВМ

Пояснительная записка к курсовой работе

по дисциплине

«Комбинаторные алгоритмы»

Преподаватель

Ивановский С.А..

Выполнили студенты гр. 8308

Муратова А.В.,

Суворов А.А.,

Шафиев А.Р.

Санкт – Петербург

2003

Содержание

Содержание 2

Теоретические материалы 3

Примеры работы алгоритма и иллюстрации 7

Описание программы 14

Функции 14

Структура 14

Структуры данных 14

Структура программы 16

Руководство пользователя 16

Список используемой литературы 25

Приложение 1 26

Приложение 2 28

Теоретические материалы

Во многих прикладных областях, где возникают геометрические задачи, в частности связанные с обработкой данных в реальном времени, и ряд вычислений дол­жен выполняться по мере поступления точек (данных). В об­щем случае алгоритм, обрабатывающий данные по мере поступ­ления, называется открытым.

Основной чертой открытых алгоритмов является отсутствие ограничений на время коррекции, что равносильно тому, что но­вый элемент данных (точка) вводится по запросу сразу же по­сле того, как завершается коррекция, связанная с предыдущим элементом данных. Будем называть временной интервал между вводом двух последовательных элементов данных задержкой поступления данных. Более сложный в смысле предъявляемых требований случай применения открытых алгоритмов возни­кает, когда задержка поступления данных находится вне кон­троля алгоритма. Иначе говоря, данные поступают не по за­просу алгоритма, а подаются на вход алгоритма в некоторые моменты времени, никак не связанные с работой алгоритма.

Будем считать, что поступление данных происходит (распределено) равномерно по времени. В такой ситуации кор­рекция должна выполняться за время, не превышающее посто­янную задержку поступления данных. Алгоритмы, работающие в таком режиме, и называются соответственно алгоритмами ре­ального времени. Следует отметить, что обычно открытые алго­ритмы глобально являются менее эффективными по сравнению с соответствующими закрытыми алгоритмами (какая-то плата должна быть внесена за открытость алгоритма).

Далее рассмотрим алгоритм построения выпуклой оболочки в реальном времени

Задача (ВЫПУКЛАЯ ОБОЛОЧКА В РЕАЛЬНОМ ВРЕМЕНИ). На плоскости задана последовательность из N то­чек p_i, .... р_N. Требуется найти их выпуклую оболочку при условии, что время задержки поступления точек постоянно.

Рис. 1. Опорные прямые из точки p_i к выпуклому многоугольнику C_i-1

При решении задачи, единственное, что необходимо, — это уметь быстро строить две опорные .прямые к выпуклому много­угольнику, проходящие через некоторую точку. В частности, если точки обрабатываются в порядке p₁, p₂, ... и p_i — текущая точка, то обозначим через С_i-1 выпуклую оболоч­ку множества { p₁, p₂, ..., p_i-1 }. Необходимо построить из точки p_i опорные прямые к C_i-1, если они существуют (т. е. если точ­ка p_i является внешней для C_i-1). Таких прямых не существует тогда и только тогда, когда точка p_i является внутренней для C_i-1. В последнем случае точка p_i просто удаляется. В первом случае должна быть удалена соответствующая цепочка вершин, заключенная между двумя опорными точками, и вместо них должна быть вставлена точка p_i. Эта ситуация показана на рис.1. Для удобства будем называть опорную прямую левой или правой в соответствии с тем, по какую сторону она находится, если смотреть из точки p_i на C_i-1.

Рассмотрим построение опорных прямых из некоторой точ­ки р к выпуклому многоугольнику С. Важную роль играет классификация вершин многоугольника С по отношению к от­резку pv, соединяющему вершину v с точкой р. Вершина v на­зывается вогнутой, если

Рис. 2. Классификация вершины и многоугольника С относительно от­резка pv. (Стрелки указывают направление обхода при поиске левой опорной прямой.)

отрезок pv пересекает внутренность многоугольника С. Иначе, если две смежные с v вершины лежат по одну сторону от пря­мой, проходящей через точки р и v, вершина v называется опорной. В оставшемся случае v называется выпуклой верши­ной. Вершина и может быть классифицирована за постоянное время.

Если v — опорная вершина, то на этом решение задачи за­вершается. Предположим, что ищется левая опорная прямая. Если точка v не является опорной, то необходимо идти по вершинам многоугольника С против или по часовой стрелке в зависимости от того, является ли и вогнутой или выпуклой вершиной (рис. 2). Таким способом можно определить две опорные точки (если они существуют). Если это сделано, необходимо иметь возможность удалить из циклической последовательности вершин многоугольника С це­почку вершин (возможно, пустую) и вставить в об­разовавшийся разрыв точку р.

Необхо­димо иметь возможность эффективно выполнять следующие операции:

I. ПОИСК в упоря­доченной последователь­ности элементов (кольце­вого списка вершин обо­лочки) для определения опорных прямых из точ­ки р_i,

II. РАСЦЕПЛЕНИЕ последовательности на две последовательности и СЦЕПЛЕНИЕ двух по­следовательностей;

III. ВСТАВКА одного элемента (текущей точ­ки p_i).

Структура данных, в полной мере удовлетворя­ющая перечисленным тре­бованиям, хорошо изве­стна и называется сцеп­ляемой очередью. Она реализуется с помощью сбалансированного по высоте дерева поиска, и при этом каждая из указанных выше операций может быть выполнена за время O(logi) в худшем случае, где i—число узлов дерева. Естествен­но, кольцевая последовательность вершин представляется в этой древовидной структуре данных (называемой далее Т) цепочкой, и при этом первый и последний элементы считаются смежными.

В структуре Т будут выделены две вершины: т — самый левый член цепочки и М — корневой член цепочки. Кроме того, мы будем использовать угол (m p_i M), который обозначим а. Этот угол называется выпуклым, если он меньше или равен , и во­гнутым в противном случае.

Рис. 3. Восемь возможных случаев в зависимости от классификации вершин т, М и угла а.

В зависимости от классификации вершин m и М (вогнутая, опорная или выпуклая) и угла а возможны всего восемнадцать случаев. Однако все эти случаи можно свести к восьми (покры­вающим все возможности), расположенным в таблице 1 и изображенным

Таблица 1

Случай	a	m	M
1	выпуклый	вогнутая	вогнутая
2	выпуклый	вогнутая	невогнутая
3	выпуклый	невогнутая	выпуклая
4	выпуклый	невогнутая	невыпуклая
5	вогнутый	выпуклая	выпуклая
6	вогнутый	выпуклая	невыпуклая
7	вогнутый	невыпуклая	вогнутая
8	вогнутый	невыпуклая	невогнутая

на рисунке 3. Диаграммы на рисунке 3. расшифровываются сле­дующим образом: окружность, на которой лежат точки М и m, обозначает многоугольник Р; упорядоченная последовательность вершин начинается в точке m и располагается по окружности в порядке против часовой стрелки; L(M) и R(M) —это после­довательности вершин, хранимые в левом и правом поддеревьях корня дерева Т.

Каждый из представленных на рисунке 3 случаев требует раз­личной обработки для определения левой и правой опорных точек, обозначаемых соответственно I и r.

Рассмотрим сначала случаи 2, 4, 6 и 8. Для этих случаев известно, что I и r существуют (так как р не может быть вну­тренней точкой многоугольника) и их следует искать в различ­ных поддеревьях корня дерева Т (одно из этих поддеревьев расширяется, чтобы включить сам корень). Таким образом, по­иск I и r должен проходить одинаково. Например, следующая процедура осуществляет поиск вершины I:

function ЛЕВЫЙ-ПОИСК(T)

Input: дерево Т, описывающее последовательность вершин Output: вершина I

1. begin с :=КОРЕНЬ(T);

2. if (pc — опорная прямая) then l := с

3. else begin if (с—выпуклая вершина) then

Т := ЛДЕРЕВО(с) else Т := ПДЕРЕВО(с)

4. l:== ЛЕВЫЙ-ПОИСКА)

end;

5. return ;

end.

Очевидно, что функция ЛЕВЫЙ-ПОИСК проходит по дере­ву Т некоторый путь, затрачивая в каждом узле ограниченное время на классификацию соответствующей узлу вершины. То же самое имеет место и для функции ПРАВЫЙ-ПОИСК. Теперь рассмотрим случаи 1. 3, 5 и 7. В каждом из этих случаев обе вершины l и r сле­дует искать в одном и том же поддереве корня, если они только существуют (следует отметить, что в случаях 1 и 7 точка р может быть внутрен­ней точкой Р). Таким обра­зом, в каждом случае процеду­ра поиска рекурсивно вызы­вает себя для поиска в подде­реве текущего дерева (выби­рается поддерево, соответству­ющее последовательности, об­веденной на рис. 3 штрихо­вой линией) до тех пор, пока не встретится один из случаев

Рис. 3.17. Для удаления точек, ока­завшихся внутри выпуклой оболоч­ки, требуется выполнить различные действия в зависимости от относи­тельного положения вершин l и r.

2. 4, 6 или 8. В этом месте ини­циируется раздельный поиск с помощью функций ЛЕВЫЙ-ПОИСК и ПРАВЫЙ-ПОИСК. Если в процессе поиска будет достигнут лист дерева Т и при этом не имел место ни один из случаев 2, 4, 6 или 8, то точка р является внутренней для мно­гоугольника. Учитывая, что дерево Т сбалансировано и содержит не более i < N вершин, а на обработку в каждом узле требуется ограниченное время, по­лучаем для времени поиска оценку О (log i).

Чтобы завершить описание, рассмотрим процедуру перестрой­ки многоугольника C_i-1 , выполняемую, если точка p_i является внешней для него. Вершины между l и r должны быть удалены, a p_i должна быть вставлена на их место. В зависимости от того, предшествует вершина I вершине r в дереве Т или нет, требует­ся выполнить немного различные действия (рис. 3). В первом случае необходимо дважды выполнить операцию расцепления и один раз сцепления; во втором случае только дважды выпол­няется операция расцепления.

Обе операции РАСЦЕПИТЬ и СЦЕПИТЬ выполняются за время O(log i). В результате, учи­тывая, что коррекция выпуклой оболочки может быть выполне­на за время О(log i), получаем:

Выпуклая оболочка множества из N точек на плоскости может быть найдена с помощью открытого алгорит­ма за время O(N* log₂ N) со временем коррекции O(log₂ N), т.е. может быть построена в реальном времени.

Теоретические сведения взяты из [1].