2.1.Полный факторный эксперимент первого порядка
При планировании
по схеме ПФЭ первого порядка реализуются
все возможные комбинации факторов на
двух выбранных для исследования уровнях.
Необходимое количество опытов N при ПФЭ
определяется из соотношения
где
k
– число факторов, 2 – означает, что
каждый фактор имеет два уровня
варьирования. Уровни факторов представляют
собой границы исследуемой области по
данному технологическому параметру.
Например, изучается влияние на выход продукта Y,% трех факторов: температуры Z1 (100–200 С), давления Z2 (2–6105 Па) и времени пребывания Z3 (10–20 мин). Верхний уровень по температуре равен 200С, нижний – 100С, тогда для Z1 имеем:
.
Вообще для любого фактора Zj:
(2)
(3)
Точка с координатами
называется центром
плана,
–
интервал
варьирования
по j–фактору.
Перейдем к безразмерной системе координат по формуле
. (4)
Для безразмерной
системы координат
В рассматриваемом
примере
.
Число опытов, представляющее число всех
возможных комбинаций уровней факторов,
N = 23 = 8.
План проведения эксперимента (матрица
планирования)
записывается в виде таблицы (табл. 1). В
приведенном плане x0–
фиктивная переменная, равная единице;
каждый из N
опытов повторяется m раз, т.е. проводится
m параллельных
опытов, что
позволяет рассчитать ошибку эксперимента
и оценить в дальнейшем адекватность
уравнения регрессии. Данный план
позволяет получить коэффициенты
линейного уравнения регрессии
(5)
Приведенная матрица планирования обладает свойствами ортогональности
, (6)
симметричности
, (7)
нормировки
, (8)
которые уменьшают трудности, связанные с расчетом коэффициентов уравнения регрессии.
Таблица 1
№ оп |
X0 |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Y |
1 |
+1 |
–1 |
–1 |
–1 |
|
2 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
|
3 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
|
4 |
+1 |
–1 |
+1 |
+1 |
|
5 |
+1 |
+1 |
–1 |
–1 |
|
6 |
+1 |
+1 |
–1 |
+1 |
|
7 |
+1 |
+1 |
+1 |
–1 |
|
8 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
|
Ортогональные планы ПФЭ (для линейных моделей) обладают также рототабельностью. Последнее предполагает равенство и минимальность дисперсий рассчитанных по уравнению регрессии значений выходной переменной для всех точек факторного пространства. По закону накопления ошибок для дисперсии рассчитанных значений выходной переменной можно записать:
(9)
Дисперсии
коэффициентов уравнения регрессии
равны между собой и, следовательно,
или с учетом того, что
(
–
радиус сферы),
Отсюда следует, что дисперсия рассчитанного
значения выходной переменной зависит
только от радиуса сферы.
Если в рассмотрение ввести более полное уравнение регрессии с учетом взаимодействия факторов
(10)
то для определения
коэффициентов
необходимо
расширить матрицу планирования следующим
образом:
Таблица 2
№ оп. |
X0 |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Х1Х2 |
Х1Х3 |
Х2Х3 |
Х1Х2Х3 |
Y |
1 |
+1 |
–1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
–1 |
|
2 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
|
3 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
–1 |
+1 |
|
4 |
+1 |
–1 |
+1 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
–1 |
|
5 |
+1 |
+1 |
–1 |
–1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
|
6 |
+1 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
–1 |
|
7 |
+1 |
+1 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
–1 |
–1 |
|
8 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
|
Значения элементов в дополнительных столбцах расширенной матрицы планирования (табл. 2) представляют собой парное или тройное произведение элементов соответствующих основных столбцов.